奥数数论问题解析约数与倍数
已知x、y为正整数,且满足xy—(x+y)=2p+q,其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数,求所有这样的数对(x,y)(x≥y)
考点:约数与倍数。
分析:此题需分类讨论,①当x是y的倍数时,设x=ky(k是正整数)。解方程k(y—2)=3;②当x不是y的倍数时,令x=ap,y=bp,a,b互质,则q=abp。解方程abp—1=(a—1)(b—1)即可。解答:解:①当x是y的倍数时,设x=ky(k是正整数)。
则由原方程,得
kyy—(ky+y)=2y+ky,
∵y≠0,
∴ky—(k+1)=2+k,
∴k(y—2)=3,
当k=1时,x=5,y=5;
当k=3时,x=9,y=3;
②当x不是y的倍数时,令x=ap,y=bp,a,b互质,则q=abp,代入原式
得:abp2—(ap+bp)=2p+abp,即abp—1=(a—1)(b+1)
当p=1时,a+b=2,可求得a=1,b=1,此时不满足条件;
当p>1时,abp≥2ab—1=ab+(ab—1)≥ab>(a—1)(b—1)
此时,abp—1=(a—1)(b+1)不满足条件;
综上所述,满足条件的数对有
点评:
本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数。由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的`积。即(a,b)×[a,b]=a×b。所以,求两个数的最小公倍数,就可以先求出它们的最大公约数,然后用上述公式求出它们的最小公倍数。
-
(精选)社团活动作文10篇
在我们平凡的日常里,大家都写过作文,肯定对各类作文都很熟悉吧,作文是人们把记忆中所存储的有关知识、经验和思想用书面形式表达出来的记叙方式。那么一般作文是怎么写的呢?下面是小编帮大家整理的社团活动作文10篇,欢迎大家分享。社团活动作文篇1今天爸爸带我去开...
-
五年级《窗边的小豆豆》读后感
看完一本名著后,你有什么体会呢?此时需要认真地做好记录,写写读后感了。可能你现在毫无头绪吧,下面是小编整理的五年级《窗边的小豆豆》读后感,仅供参考,欢迎大家阅读。五年级《窗边的小豆豆》读后感1今天,我一口气把《窗边的小豆豆》全部看完了,因为十分好看。这本书...
-
返校复学第一课教案(通用10篇)
作为一名为他人授业解惑的教育工作者,编写教案是必不可少的,借助教案可以让教学工作更科学化。怎样写教案才更能起到其作用呢?以下是小编帮大家整理的返校复学第一课教案(通用10篇),欢迎阅读与收藏。返校复学第一课教案1一、活动名称:红灯停,绿灯行二、活动目标:1、了解...
-
祖父的园子读后感(通用41篇)
当认真看完一本名著后,相信大家都增长了不少见闻,这时候,最关键的读后感怎么能落下!到底应如何写读后感呢?以下是小编精心整理的祖父的园子读后感,供大家参考借鉴,希望可以帮助到有需要的朋友。祖父的园子读后感篇1小萧红跟着祖父在园子里栽花、拔草、种白菜、铲地、...