关于小学奥数竞赛专题之同余问题

[专题介绍]：同余问题

生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？

假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。

研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。

[分析]

1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）

2、同余的重要性质及举例。

〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）

〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）

〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）

〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）

〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）

〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）

其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"

注意：一般地同余没有"可除性"，但是：

如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）

3、整数分类：

〈1〉用2来将整数分类，分为两类：

1，3，5，7，9，……（奇数）

0，2，4，6，8，……（偶数）

〈2〉用3来将整数分类，分为三类：

0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）

1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）

2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：

0（mod6）：0，6，12，18，24，……

1（mod6）：1，7，13，19，25，……

2（mod6）：2，8，14，20，26，……

3（mod6）：3，9，15，21，27，……

4（mod6）：4，10，16，22，29，……

5（mod6）：5，11，17，23，29，……

[经典例题]

例1：求437×309×1993被7除的余数。

思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢？

473≡3（mod7）

309≡1（mod7）

由"同余的可乘性"知：

437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）

又因为1993≡5（mod7）

所以：437×309×1993≡3×5（mod7）

≡15（mod7）≡1（mod7）

即：437×309×1993被7除余1。

例2：70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几？

思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。

即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢？

0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是

0，1，3，2，3，1，0，……

结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：

0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……

可以看出余数前12个数一段，将重复出现。

70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。

思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。

例4、分别求满足下列条件的最小自然数：

（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。

（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。

（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。

（4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。

思路分析：

（1）该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106

（2）该数减去1以后是5和7的公倍数。因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即

1，36，71，106，141，176，211，246，……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。

36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合条件的最小的数是71。

（3）我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37，72，107，142，177，212，247，……

从以上数中寻找最小的被3除余1的'数。

2（mod3），37≡（mod3）、因此符合条件的最小的数是37。

（4）我们从被11除余1的数中寻找答案。

1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……

1（mod3）；1（mod7），不符合

12≡0（mod3），12≡5（mod7）不符合

23≡2（mod3），23≡2（mod7）不符合

34≡1（mod3），34≡6（mod7）不符合

45≡0（mod3），45≡3（mod7）不符合

56≡2（mod3），56≡0（mod7）不符合

67≡1（mod3），67≡4（mod7）不符合

78≡0（mod3），78≡1（mod7）不符合

89≡2（mod3），89≡5（mod7）不符合

100≡1（mod3），100≡2（mod7）不符合

122≡2（mod3），122≡3（mod7）不符合

133≡1（mod3），133≡0（mod7）不符合

144≡1（mod3），144≡4（mod7）不符合

155≡2（mod3），155≡1（mod7）不符合

166≡1（mod3），166≡5（mod7）不符合

177≡0（mod3），177≡2（mod7）不符合

188≡2（mod3），188≡6（mod7）不符合

199≡1（mod3），199≡3（mod7）不符合

210≡0（mod3），210≡0（mod7）不符合

221≡2（mod3），221≡4（mod7）符合

因此符合条件的数是221。

例5判断以下计算是否正确

（1）42784×3968267=1697598942346

（2）42784×3968267=1697598981248

思路分析：若直接将右边算出，就可判断

41784×3968267=169778335328，可知以上两结果均是错的；但是计算量太大。

如果右式和左式相等，则它们除以某一个数余数一定相同。因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数，便是原数除以9的余数。我考虑上式除以9的余数，如果余数不相同，则上式一定不成立。

（1）从个位数字可知，右式的个位数字只能是8，而右式个位为6，因此上式不成立。

（2）右式和左式的个位数字相同，因而无法断定上式是否成立，但是

4+2+7+8+4=25，25≡7（mod9）

3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5（mod9）

42784≡7（mod9）；3968267≡5（mod9）

42784×3968267≡35（mod9）

≡8（mod9）

（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9）

因此（2）式不成立

以上是用"除9取余数"来验证结果是否正确，常被称为"弃九法"。

不过应该注意，用弃九法可发现错误，但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。

习题

1、求16×941×1611被7除的余数。

3、判断结果是否正确：（1）5483×9117=49888511

（2）1226452÷2683=334

4、乘法算式

3145×92653=291093995的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？

5、13511，13903，14589被自然数m除所得余数相同，问m最大值是多少？