2017初二上册数学期末模拟试卷

没有平日的失败，哪有最终的成功。希望你能克服初二数学期末模拟考试的试题，争取都掌握透切知识点。以下是小编为你整理的2017初二上册数学期末模拟试卷，希望对大家有帮助!

　　2017初二上册数学期末模拟试题

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)

1.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是(　　)

A.y=(x+2)2+2 B.y=(x﹣2)2﹣2 C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x+2)2﹣2

2.下列关于函数 的图象说法：①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点(0，0)，其中正确的有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(　　)

A.﹣15 C.x<﹣1且x>5 D.x<﹣1或x>5

4.抛物线y=(x+2)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是(　　)

A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

5.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB; ②CD，∠ACB，∠ADB;③EF，DE，BD;④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B间距离的有(　　)

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

6.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于(　　)

A.6 B.5 C.9 D.

7.如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为(　　)

A. B. C. D.

8.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是(　　)

A.2 B.3 C. D.

9.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是(　　)

A.100° B.110° C.120° D.130°

10.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(﹣1，0).以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A'的纵坐标是(　　)

A.3 B.﹣3 C.﹣4 D.4

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11.已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=　　.

12.若△ADE∽△ACB，且 = ，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是　　.

13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，则sin =　　.

14.如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为　　.

三、计算题(本大题共1小题，共8分)

15.计算：(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0.

四、解答题(本大题共7小题，共68分)

16.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3，0)，B(﹣1，0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)求抛物线的顶点坐标.

17.某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动.如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米?(结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732)

18.已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD.

求证：(1)PO平分∠BPD;

(2)PA=PC.

19.如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠EBC= ∠BAC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F.

(1)求证：BC与⊙O相切;

(2)若AB=8，sin∠EBC= ，求AC的长.

20.如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A(1，4)，B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB.

(1)求k和b的值;

(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围;

(3)在y轴上是否存在一点P，使S△PAC= S△AOB?若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由.

21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D.

(1)求证：BC是⊙O切线;

(2)若BD=5，DC=3，求AC的长.

22.一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：

(1)二次函数和反比例函数的关系式.

(2)弹珠在轨道上行驶的最大速度.

(3)求弹珠离开轨道时的速度.

五、综合题(本大题共1小题，共14分)

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣ 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.

(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC.求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

　　2017初二上册数学期末模拟试卷答案与解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)

1.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是(　　)

A.y=(x+2)2+2 B.y=(x﹣2)2﹣2 C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x+2)2﹣2

【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.

【解答】解：函数y=x2﹣4向右平移2个单位，得：y=(x﹣2)2﹣4;

再向上平移2个单位，得：y=(x﹣2)2﹣2;

故选B.

2.下列关于函数 的图象说法：①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点(0，0)，其中正确的有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【考点】二次函数的性质.

【分析】函数 是一种最基本的二次函数，画出图象，直接判断.

【解答】解：①二次函数 的图象是抛物线，正确;

②因为a=﹣ <0，抛物线开口向下，正确;

③因为b=0，对称轴是y轴，正确;

④顶点(0，0)也正确.

故选D.

3.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(　　)

A.﹣15 C.x<﹣1且x>5 D.x<﹣1或x>5

【考点】二次函数与不等式(组).

【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集.

【解答】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为(5，0)，

∴图象与x轴的另一个交点坐标为(﹣1，0).

利用图象可知：

ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，

∴x<﹣1或x>5.

故选：D.

4.抛物线y=(x+2)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是(　　)

A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可.

【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=(x+2)2，

抛物线y=(x+2)2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=(x+2)2﹣3.

故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位.

故选：B.

5.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB; ②CD，∠ACB，∠ADB;③EF，DE，BD;④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B间距离的有(　　)

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

【考点】相似三角形的应用;解直角三角形的应用.

【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可.所以借助于相似三角形的性质，根据 = 即可解答.

【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，

①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长;

②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB;

③，因为△ABD∽△EFD可利用 = ，求出AB;

④无法求出A，B间距离.

故共有3组可以求出A，B间距离.

故选C.

6.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于(　　)

A.6 B.5 C.9 D.

【考点】位似变换.

【分析】位似是特殊的相似，位似比就是相似比，相似形对应边的比相等.

【解答】解：根据题意，△ABC与△DEF位似，且AB：DE=2：3，AB=4

∴DE=6

故选A.

7.如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为(　　)

A. B. C. D.

【考点】圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义.

【分析】连接CD，由∠COD为直角，根据90°的圆周角所对的弦为直径，可得出CD为圆A的直径，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠CBO=∠CDO，在直角三角形OCD中，由CD及OC的长，利用勾股定理求出OD的长，然后利用余弦函数定义求出cos∠CDO的值，即为cos∠CBO的值.

【解答】解：连接CD，如图所示：

∵∠COD=90°，

∴CD为圆A的直径，即CD过圆心A，

又∵∠CBO与∠CDO为 所对的圆周角，

∴∠CBO=∠CDO，

又∵C(0，5)，

∴OC=5，

在Rt△CDO中，CD=10，CO=5，

根据勾股定理得：OD= =5 ，

∴cos∠CBO=cos∠CDO= = = .

故选B

8.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是(　　)

A.2 B.3 C. D.

【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的概念计算即可.

【解答】解：设BC=x，则AB=3x，

由勾股定理得，AC= =2 x，

则tanB= =2 ，

故选：A.

9.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是(　　)

A.100° B.110° C.120° D.130°

【考点】圆周角定理;圆内接四边形的性质.

【分析】首先在优弧 上取点E，连接BE，CE，由点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，即可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案.

【解答】解：在优弧 上取点E，连接BE，CE，如图所示：

∵∠BDC=130°，

∴∠E=180°﹣∠BDC=50°，

∴∠BOC=2∠E=100°.

故选：A.

10.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(﹣1，0).以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A'的纵坐标是(　　)

A.3 B.﹣3 C.﹣4 D.4

【考点】位似变换;坐标与图形性质.

【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，进而得出点A'的纵坐标.

【解答】解：∵点C的坐标是(﹣1，0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，

并把△ABC的边长放大到原来的2倍.

点A′的对应点A的纵坐标是1.5，

则点A'的纵坐标是：﹣3.

故选：B.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11.已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=　﹣4　.

【考点】二次函数的性质.

【分析】可直接由对称轴公式﹣ =2，求得b的值.

【解答】解：∵对称轴为x=2，

∴﹣ =2，

∴b=﹣4.

12.若△ADE∽△ACB，且 = ，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是　 　.

【考点】相似三角形的性质.

【分析】根据题意求出△ADE与△ACB的相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可.

【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且 = ，

∴△ADE与△ACB的面积比为： ，

∴△ADE与四边形BCED的面积比为： ，又四边形BCED的面积是2，

∴△ADE的面积是 ，

故答案为： .

13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，则sin =　 　.

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，可以求得∠A正弦值，从而可以求得∠A的度数，进而可求得sin 的值.

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，

∴sinA= ，

∴∠A=60°，

∴sin =sin30°= ，

故答案为： .

14.如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为　80π﹣160　.

【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质.

【分析】首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解.

【解答】解：连接AC，

∵AE丄EF，EF丄FC，

∴∠E=∠F=90°，

∵∠AME=∠CMF，

∴△AEM∽△CFM，

∴ ，

∵AE=6，EF=8，FC=10，

∴ ，

∴EM=3，FM=5，

在Rt△AEM中，AM= =3 ，

在Rt△FCM中，CM= =5 ，

∴AC=8 ，

在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8 • =4 ，

∴S正方形ABCD=AB2=160，

圆的面积为：π•( )2=80π，

∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160.

故答案为：80π﹣160.

三、计算题(本大题共1小题，共8分)

15.计算：(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0.

【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.

【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0的值是多少即可.

【解答】解：(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0

=1+2× ﹣ +1

=1+ ﹣ +1

=2

四、解答题(本大题共7小题，共68分)

16.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3，0)，B(﹣1，0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)求抛物线的顶点坐标.

【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.

【分析】(1)根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3，0)，B(﹣1，0)，直接得出抛物线的解析式为;y=﹣(x﹣3)(x+1)，再整理即可，

(2)根据抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，即可得出答案.

【解答】解：(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3，0)，B(﹣1，0).

∴抛物线的解析式为;y=﹣(x﹣3)(x+1)，

即y=﹣x2+2x+3，

(2)∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，

∴抛物线的顶点坐标为：(1，4).

17.某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动.如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米?(结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732)

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

【分析】根据题意，∠BAC=90°，AC=550，∠ACB=60°，求AB.由三角函数定义可建立关系式后求解.

【解答】解：由题意得：△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，

AC=550，AB=AC•tan∠ACB=550 ≈952.6≈953(米).

答：他们测得湘江宽度为953米.

18.已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD.

求证：(1)PO平分∠BPD;

(2)PA=PC.

【考点】垂径定理;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;勾股定理.

【分析】(1)过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，根据AB=CD可知OE=OF，进而可知PO平分∠BPD;

(2)先根据全等三角形的判定定理得出Rt△POE≌Rt△POF，再由垂径定理可得出AE=CF，再根据PE﹣AE=PF﹣CF即可得出结论.

【解答】证明：(1)过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，

∵AB=CD，

∴OE=OF，

∴PO平分∠BPD;

(2)在Rt△POE与Rt△POF中，

∵OP=OP，OE=OF，

∴Rt△POE≌Rt△POF，

∴PE=PF，

∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足，

∴AE= ，

CF= ，

∴AE=CF，

∴PE﹣AE=PF﹣CF，即PA=PC.

19.如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠EBC= ∠BAC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F.

(1)求证：BC与⊙O相切;

(2)若AB=8，sin∠EBC= ，求AC的长.

【考点】切线的判定;相似三角形的判定与性质.

【分析】(1)首先连接AF，由AB为直径，根据圆周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC= ∠BAC，根据等腰三角形的性质，可得∠BAF=∠EBC，继而证得BC与⊙O相切;

(2)首先过E作EG⊥BC于点G，由三角函数的性质，可求得BF的`长，易证得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.

【解答】(1)证明：连接AF.

∵AB为直径，

∴∠AFB=90°.

∵AE=AB，

∴△ABE为等腰三角形.

∴∠BAF= ∠BAC.

∵∠EBC= ∠BAC，

∴∠BAF=∠EBC，

∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°.

∴∠ABC=90°.

即AB⊥BC，

∴BC与⊙O相切.

(2)解：过E作EG⊥BC于点G，

∵∠BAF=∠EBC，

∴sin∠BAF=sin∠EBC= .

在△AFB中，∠AFB=90°，

∵AB=8，

∴BF=AB•sin∠BAF=8× =2，

∴BE=2BF=4.

在△EGB中，∠EGB=90°，

∴EG=BE•sin∠EBC=4× =1，

∵EG⊥BC，AB⊥BC，

∴EG∥AB，

∴△CEG∽△CAB，

∴ .

∴ ，

∴CE= ，

∴AC=AE+CE=8+ = .

20.如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A(1，4)，B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB.

(1)求k和b的值;

(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围;

(3)在y轴上是否存在一点P，使S△PAC= S△AOB?若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】(1)由待定系数法即可得到结论;

(2)根据图象中的信息即可得到结论;

(3)过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由(1)知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为： 列方程 ，求得B(4，1)，于是得到 ，由已知条件得到 ，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P(0，t)，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.

【解答】解：(1)将A(1，4)分别代入y=﹣x+b和

得：4=﹣1+b，4= ，解得：b=5，k=4;

(2)一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x>4或0

(3)过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，

由(1)知，b=5，k=4，

∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：

由 ，解得：x=4，或x=1，

∴B(4，1)，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P(0，t)，

∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP(CD+AE)=|t|=3，

解得：t=3，t=﹣3，

∴P(0，3)或P(0，﹣3).

21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D.

(1)求证：BC是⊙O切线;

(2)若BD=5，DC=3，求AC的长.

【考点】切线的判定.

【分析】(1)要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可.

(2)过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长.

【解答】(1)证明：连接OD;

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠3.

∵OA=OD，

∴∠1=∠2.

∴∠2=∠3.

∴ ∥AC.

∴∠ODB=∠ACB=90°.

∴OD⊥BC.

∴BC是⊙O切线.

(2)解：过点D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴CD=DE=3.

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得： ，

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC.

∴ .

∴ .

∴AC=6.

22.一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：

(1)二次函数和反比例函数的关系式.

(2)弹珠在轨道上行驶的最大速度.

(3)求弹珠离开轨道时的速度.

【考点】反比例函数的应用.

【分析】(1)二次函数图象经过点(1，2)，反比例函数图象经过点(2，8)，利用待定系数法求函数解析式即可;

(2)把t=2代入(1)中二次函数解析式即可;

(3)把t=5代入(1)中反比例函数解析式即可求得答案.

【解答】解：(1)v=at2的图象经过点(1，2)，

∴a=2.

∴二次函数的解析式为：v=2t2，(0≤t≤2);

设反比例函数的解析式为v= ，

由题意知，图象经过点(2，8)，

∴k=16，

∴反比例函数的解析式为v= (2

(2)∵二次函数v=2t2，(0≤t≤2)的图象开口向上，对称轴为y轴，

∴弹珠在轨道上行驶的最大速度在2秒末，为8米/分;

(3)弹珠在第5秒末离开轨道，其速度为v= =3.2(米/分).

五、综合题(本大题共1小题，共14分)

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣ 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.

(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC.求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)①先求的直线y= x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标;②设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x﹣1)，然后将点C的坐标代入即可求得a的值;

(2)设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ= m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC= ×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标;

(3)首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M(0，2)时，△MAN∽△BAC;②根据抛物线的对称性，当M(﹣3，2)时，△MAN∽△ABC; ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系.

【解答】解：(1)①y= 当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，

∴C(0，2)，A(﹣4，0)，

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣ 对称，

∴点B的坐标为1，0).

②∵抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣4，0)，B(1，0)，

∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣1)，

又∵抛物线过点C(0，2)，

∴2=﹣4a

∴a=

∴y= x2 x+2.

(2)设P(m， m2 m+2).

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q(m， m+2)，

∴PQ= m2 m+2﹣( m+2)

= m2﹣2m，

∵S△PAC= ×PQ×4，

=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4，

∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，

此时P(﹣2，3).

(3)方法一：

在Rt△AOC中，tan∠CAO= 在Rt△BOC中，tan∠BCO= ，

∴∠CAO=∠BCO，

∵∠BCO+∠OBC=90°，

∴∠CAO+∠OBC=90°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC∽△ACO∽△CBO，

如下图：

①当M点与C点重合，即M(0，2)时，△MAN∽△BAC;

②根据抛物线的对称性，当M(﹣3，2)时，△MAN∽△ABC;

③当点M在第四象限时，设M(n， n2 n+2)，则N(n，0)

∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4

当 时，MN= AN，即 n2+ n﹣2= (n+4)

整理得：n2+2n﹣8=0

解得：n1=﹣4(舍)，n2=2

∴M(2，﹣3);

当 时，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2(n+4)，

整理得：n2﹣n﹣20=0

解得：n1=﹣4(舍)，n2=5，

∴M(5，﹣18).

综上所述：存在M1(0，2)，M2(﹣3，2)，M3(2，﹣3)，M4(5，﹣18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.

方法二：

∵A(﹣4，0)，B(1，0)，C(0，2)，

∴KAC×KBC=﹣1，

∴AC⊥BC，MN⊥x轴，

若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，

则 ， ，

设M(2t，﹣2t2﹣3t+2)，

∴N(2t，0)，

①| |= ，

∴| |= ，

∴2t1=0，2t2=2，

②| |= ，

∴| |=2，∴2t1=5，2t2=﹣3，

综上所述：存在M1(0，2)，M2(﹣3，2)，M3(2，﹣3)，M4(5，﹣18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.