2017九年级数学上期末模拟试卷

在2017九年级数学期末模拟考试的复习阶段，我们要掌握好一个正确的复习方法，才能让自己更好的做好考试准备。以下是小编为你整理的2017九年级数学上期末模拟试卷，希望对大家有帮助!

　　2017九年级数学上期末模拟试题

一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分.把答案写在答题框中去)

1.下列四个图形中，不是中心对称图形的是(　　)

A. B. C. D.

2.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为(　　)

A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x﹣1)2=6 D.(x﹣2)2=9

3.如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是(　　)

A.15° B.20° C.25° D.30°

4.若方程(m﹣3)x ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，则方程(　　)

A.无实数根 B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根 D.有一个根

5.已知⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=6cm，且两圆的半径满足一元二次方程x2﹣6x+8=0.则两圆的位置关系为(　　)

A.外切 B.内切 C.外离 D.相交

6.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为(　　)

A.y=3(x﹣2)2﹣1 B.y=3(x﹣2)2+1 C.y=3(x+2)2﹣1 D.y=3(x+2)2+1

7.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为(　　)

A.5人 B.6人 C.7人 D.8人

8.有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为(　　)

A.50cm B.25 cm C.50 cm D.50 cm

9.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为(　　)

A. B. C. D.

10.如图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=﹣1，下列结论中：

①ab>0，‚②a+b+c>0，ƒ③当﹣2

正确的个数是(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)

11.已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实根，则(x1﹣2)(x2﹣2)=　　.

12.方程x2﹣2x=0的根是　　.

13.如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC.若∠CPA=20°，则∠A=　　°.

14.二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=　　.

15.某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元.设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为　　.

16.小明把如图所示的矩形纸板ABCD挂在墙上，E为AD中点，且∠ABD=60°，并用它玩飞镖游戏

17.(6分)解方程：x2﹣6x﹣2=0.

18.(6分)用配方法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2=0.

19.(6分)已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.

(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根;

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)

20.(7分)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.

(1)证明：DE为⊙O的切线;

(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.

21.(7分)在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场.

(1)如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率;

(2)如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.

22.(7分)某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套;应市场变化需上调第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套.

(1)若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写表格：

时间 第一个月 第二个月

销售定价(元)

销售量(套)

(2)若商店预计要在第二个月的销售中获利2000元，则第二个月销售定价每套多少元?

(3)若要使第二个月利润达到最大，应定价为多少?此时第二个月的最大利润是多少?

五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)

23.(9分)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E.

(1)求证：AB=BE;

(2)若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长.

24.(9分)如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个△ABC和一点O，△ABC的顶点和点O均与小正方形的顶点重合.

(1)在方格纸中，将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1;

(2)在方格纸中，将△ABC绕点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2.

25.(9分)如图①，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC.

(1)求抛物线的表达式;

(2)抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标;若不存在，请说明理由;

(3)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC?如果存在，请求出点P的坐标;如果不存在，请说明理由.

　　2017九年级数学上期末模拟试卷答案与解析

一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分.把答案写在答题框中去)

1.下列四个图形中，不是中心对称图形的是(　　)

A. B. C. D.

【考点】中心对称图形.

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是中心对称图形.故错误;

B、是中心对称图形.故错误;

C、不是中心对称图形.故正确;

D、是中心对称图形.故错误.

故选C.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为(　　)

A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x﹣1)2=6 D.(x﹣2)2=9

【考点】解一元二次方程-配方法.

【分析】配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边;

(2)把二次项的系数化为1;

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

【解答】解：由原方程移项，得

x2﹣2x=5，

方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得

x2﹣2x+1=6

∴(x﹣1)2=6.

故选：C.

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.

3.如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是(　　)

A.15° B.20° C.25° D.30°

【考点】旋转的性质.

【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数.

【解答】解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，

∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，

∴∠OFA=(180°﹣130°)÷2=25°.

故选：C.

【点评】考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等.同时考查了正方形的性质和等腰三角形的性质.

4.若方程(m﹣3)x ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，则方程(　　)

A.无实数根 B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根 D.有一个根

【考点】根的判别式.

【分析】根据一元二次方程的定义即可得出关于m的一元一次不等式以及一元二次方程，解之即可得出m的值，将m的值代入原方程，再根据根的判别式△=73>0即可得出结论.

【解答】解：∵方程(m﹣3)x ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，

∴ ，解得：m=﹣3，

∴原方程为﹣6x2﹣x+3=0.

∵△=(﹣1)2﹣4×(﹣6)×3=73>0，

∴方程有两个不相等的实数根.

故选C.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，熟练掌握“当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键.

5.已知⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=6cm，且两圆的半径满足一元二次方程x2﹣6x+8=0.则两圆的位置关系为(　　)

A.外切 B.内切 C.外离 D.相交

【考点】圆与圆的位置关系;解一元二次方程-因式分解法.

【分析】解答此题，先要求一元二次方程的两根，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定位置关系.

【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得：

x1=2，x2=4，

∵O1O2=6，x2﹣x1=2，x2+x1=6，

∴O1O2=x2+x1.

∴⊙O1与⊙O2相外切.

故选A.

【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的知识点，综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断.此类题比较基础，需要同学熟练掌握.

6.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为(　　)

A.y=3(x﹣2)2﹣1 B.y=3(x﹣2)2+1 C.y=3(x+2)2﹣1 D.y=3(x+2)2+1

【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可.

【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为(﹣2，﹣1)，

所得抛物线为y=3(x+2)2﹣1.

故选C.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键.

7.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为(　　)

A.5人 B.6人 C.7人 D.8人

【考点】一元二次方程的应用.

【分析】易得每个同学都要送给其他同学，等量关系为：小组的人数×(小组人数﹣1)=30，把相关数值代入计算即可.

【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人.

x(x﹣1)=30，

解得x1=6，x2=﹣5(不合题意，舍去)，

故选B.

【点评】考查一元二次方程的应用;得到礼物总件数的等量关系是解决本题的关键.

8.有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为(　　)

A.50cm B.25 cm C.50 cm D.50 cm

【考点】正多边形和圆.

【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为50cm，进而由勾股定理可得答案.

【解答】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长;再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为： =50 .

故选C.

【点评】本题主要考查正多边形和圆的相关知识;注意：熟记等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍，可以给解决此题带来方便.

9.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为(　　)

A. B. C. D.

【考点】概率公式.

【分析】直接根据概率公式求解.

【解答】解：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率= = .

故选B.

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.

10.如图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=﹣1，下列结论中：

①ab>0，‚②a+b+c>0，ƒ③当﹣2

正确的个数是(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【分析】①由抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，判断a，b与0的关系，得到ab>0;故①正确;

②由x=1时，得到y=a+b+c>0;故②正确;

③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可.

【解答】解：①∵抛物线的开口向上，

∴a>0，

∵对称轴在y轴的左侧，

∴b>0

∴ab>0;故①正确;

②∵观察图象知;当x=1时y=a+b+c>0，

∴②正确;

③∵抛物线的对称轴为x=﹣1，与x轴交于(0，0)，

∴另一个交点为(﹣2，0)，

∴当﹣2

故选D.

【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)

11.已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实根，则(x1﹣2)(x2﹣2)=　﹣4　.

【考点】根与系数的关系.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据(x1﹣2)(x2﹣2)=x1x2﹣2(x1+x2)+4代入数值计算即可.

【解答】解：由于x1+x2=3，x1•x2=﹣2，

∴(x1﹣2)(x2﹣2)=x1x2﹣2(x1+x2)+4=﹣2﹣2×3+4=﹣4.

故本题答案为：﹣4.

【点评】本题的解答利用了一元二次方程根与系数的关系，由此看来我们还是应该熟练地掌握一元二次方程根与系数的关系.

12.方程x2﹣2x=0的根是　x1=0，x2=2　.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便.

【解答】解：因式分解得x(x﹣2)=0，

解得x1=0，x2=2.

故答案为x1=0，x2=2.

【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.

13.如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC.若∠CPA=20°，则∠A=　35　°.

【考点】切线的性质;圆周角定理.

【分析】连接OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到OC与CP垂直，在直角三角形OPC中，利用两锐角互余根据∠CPA的度数求出∠COP的度数，再由OA=OC，利用等边对等角得到∠A=∠OCA，利用外角的性质即可求出∠A的度数.

【解答】解：连接OC，

∵PC切半圆O于点C，

∴PC⊥OC，即∠PCO=90°，

∵∠CPA=20°，

∴∠POC=70°，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA=35°.

故答案为：35

【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

14.二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=　5　.

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】根据二次函数的.图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值.

【解答】解：由图可知，对称轴为x=﹣ = =3，

根据二次函数的图象的对称性， =3，

解得x2=5.

故答案为：5.

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，要注意数形结合，熟悉二次函数的图象与性质.

15.某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元.设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为　8100×(1﹣x)2=7600　.

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【分析】该楼盘这两年房价平均降低率为x，则第一次降价后的单价是原价的1﹣x，第二次降价后的单价是原价的(1﹣x)2，根据题意列方程解答即可.

【解答】解：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：

8100×(1﹣x)2=7600，

故答案为：8100×(1﹣x)2=7600.

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的.找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.

16.小明把如图所示的矩形纸板ABCD挂在墙上，E为AD中点，且∠ABD=60°，并用它玩飞镖游戏

17.解方程：x2﹣6x﹣2=0.

【考点】解一元二次方程-配方法.

【分析】首先把方程移项变形成x2﹣6x=2，然后方程左右两边同时加上一次项系数的一半，即可把方程左边变形成完全平方，右边是常数的形式.

【解答】解：移项，得x2﹣6x=2

配方，得(x﹣3)2=11，

即x﹣3= 或x﹣3=﹣ ，

所以，方程的解为x1=3+ ，x2=3﹣ .

【点评】[总结反思]把一元二次方程化为ax2+bx+c=0形式.

且x2+ x+ =0配方过程为

x2+ x+( )2=( )2﹣ ，

(x+ )2= ，即x1，2=﹣ ± (b2﹣4ac≥0).

18.用配方法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2=0.

【考点】解一元二次方程-配方法.

【分析】把常数项﹣2移项后，在左右两边同时加上1配方求解.

【解答】解：x2﹣2x+1=3

(x﹣1)2=3

∴x﹣1= 或x﹣1=﹣

∴ ，

【点评】配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边;

(2)把二次项的系数化为1;

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.

19.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.

(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根;

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

【考点】根的判别式.

【分析】(1)设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1=﹣a，x•1=a﹣2，求出即可;

(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答.

【解答】解：(1)设方程的另一个根为x，

则由根与系数的关系得：x+1=﹣a，x•1=a﹣2，

解得：x=﹣ ，a= ，

即a= ，方程的另一个根为﹣ ;

(2)∵△=a2﹣4(a﹣2)=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=(a﹣2)2+4>0，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两个根，则x1+x2=﹣ ，x1•x2= ，要记牢公式，灵活运用.

四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)

20.如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.

(1)证明：DE为⊙O的切线;

(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.

【考点】切线的判定;等腰三角形的性质;三角形中位线定理;圆周角定理.

【分析】(1)首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论;

(2)首先根据三角函数的性质，求得BD，DE，AE的长，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面积，继而求得答案.

【解答】(1)证明：连接OD，CD，

∵BC为⊙O直径，

∴∠BDC=90°，

即CD⊥AB，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵D点在⊙O上，

∴DE为⊙O的切线;

(2)解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，

∴CD= BC=2，BD=BC•cos30°=2 ，

∴AD=BD=2 ，AB=2BD=4 ，

∴S△ABC= AB•CD= ×4 ×2=4 ，

∵DE⊥AC，

∴DE= AD= ×2 = ，

AE=AD•cos30°=3，

∴S△ODE= OD•DE= ×2× = ，

S△ADE= AE•DE= × ×3= ，

∵S△BOD= S△BCD= × S△ABC= ×4 = ，

∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4 ﹣ ﹣ ﹣ = .

【点评】此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

21.在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场.

(1)如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率;

(2)如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.

【考点】列表法与树状图法;概率公式.

【分析】(1)由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大刚的概率即可;

(2)画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率.

【解答】解：(1)∵确定小亮打第一场，

∴再从小莹，小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为 ;

(2)列表如下：

所有等可能的情况有6种(除去三个人相同的情况)，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与大刚不同的结果有2个，

则小莹与小芳打第一场的概率为 =

【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套;应市场变化需上调第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套.

(1)若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写表格：

时间 第一个月 第二个月

销售定价(元) 　52　 　52+x

销售量(套) 　180　 　180﹣10x

(2)若商店预计要在第二个月的销售中获利2000元，则第二个月销售定价每套多少元?

(3)若要使第二个月利润达到最大，应定价为多少?此时第二个月的最大利润是多少?

【考点】二次函数的应用.

【分析】(1)根据题意可以将表格补充完整;

(2)根据题意可以写出获得的利润的表达式，令利润等于2000，即可求得第二个月的销售定价每套的价格;

(3)根据利润的表达式化为二次函数的顶点式，即可解答本题.

【解答】解：(1)若设第二个月的销售定价每套增加x元，由题意可得，

时间 第一个月 第二个月

销售定价(元) 52 52+x

销售量(套) 180 180﹣10x

故答案为：52，180;52+x，180﹣10x.

(2)若设第二个月的销售定价每套增加x元，根据题意得：

(52+x﹣40)(180﹣10x)=2000，

解得：x1=﹣2(舍去)，x2=8，

当x=8时，52+x=52+8=60.

答：第二个月销售定价每套应为60元.

(3)设第二个月利润为y元.

由题意得到：y=(52+x﹣40)(180﹣10x)

=﹣10x2+60x+2160

=﹣10(x﹣3)2+2250

∴当x=3时，y取得最大值，此时y=2250，

∴52+x=52+3=55，

即要使第二个月利润达到最大，应定价为55元，此时第二个月的最大利润是2250元.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件.

五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)

23.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E.

(1)求证：AB=BE;

(2)若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长.

【考点】切线的性质;解直角三角形.

【分析】(1)本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果;

(2)由(1)知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果.

【解答】(1)证明：连接OD，

∵PD切⊙O于点D，

∴OD⊥PD，

∵BE⊥PC，

∴OD∥BE，

∴∠ADO=∠E，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠E，

∴AB=BE;

(2)解：由(1)知，OD∥BE，

∴∠POD=∠B，

∴cos∠POD=cosB= ，

在Rt△POD中，cos∠POD= = ，

∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，

∴ ，

∴OA=3，

∴⊙O半径=3.

【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键.

24.如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个△ABC和一点O，△ABC的顶点和点O均与小正方形的顶点重合.

(1)在方格纸中，将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1;

(2)在方格纸中，将△ABC绕点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2.

【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.

【分析】无论是何种变换都需先找出各关键点的对应点，然后顺次连接即可.

【解答】解：

【点评】本题的关键是作各个关键点的对应点.

25.如图①，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC.

(1)求抛物线的表达式;

(2)抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标;若不存在，请说明理由;

(3)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC?如果存在，请求出点P的坐标;如果不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题;一元二次方程的解;待定系数法求二次函数解析式;全等三角形的判定与性质.

【分析】(1)根据抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，可求得抛物线的表达式;

(2)根据直线BC的解析式为y=﹣x+3，可得过点O与BC平行的直线y=﹣x，与抛物线的交点即为M，据此求得点M的坐标;

(3)设BP交轴y于点G，再根据点B、C、D的坐标，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，进而判定△CGB≌△CDB，求得点G的坐标为(0，1)，得到直线BP的解析式为y=﹣ x+1，最后计算直线BP与抛物线的交点P的坐标即可.

【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3;

(2)存在.

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为(0，3)，

∵C(0，3)，B(3，0)，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∴过点O与BC平行的直线y=﹣x，与抛物线的交点即为M，

解方程组 ，

可得 或 ，

∴M1( ， )，M2( ， );

(3)存在.

如图，设BP交轴y于点G，

∵点D(2，m)在第一象限的抛物线上，

∴当x=2时，m=﹣22+2×2+3=3，

∴点D的坐标为(2，3)，

把x=0代入y=﹣x2+2x+3，得y=3，

∴点C的坐标为(0，3)，

∴CD∥x轴，CD=2，

∵点B(3，0)，

∴OB=OC=3，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，

又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC，

∴△CGB≌△CDB(ASA)，

∴CG=CD=2，

∴OG=OC﹣CG=1，

∴点G的坐标为(0，1)，

设直线BP的解析式为y=kx+1，

将B(3，0)代入，得3k+1=0，

解得k=﹣ ，

∴直线BP的解析式为y=﹣ x+1，

令﹣ x+1=﹣x2+2x+3，

解得 ，x2=3，

∵点P是抛物线对称轴x=﹣ =1左侧的一点，即x<1，

∴x=﹣ ，

把x=﹣ 代入抛物线y=﹣x2+2x+3中，

解得y= ，

∴当点P的坐标为(﹣ ， )时，满足∠PBC=∠DBC.

【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、三角形面积计算等重要知识点的综合应用，解决问题的关键是画出图形，找出判定全等三角形的条件.