函数法证明不等式
已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0
<1> 证明 0
<2>证明an+1<(1/6)×(an)^3
它提示是构造一个函数然后做差求导,确定单调性。可是还是一点思路都没有,各位能不能给出具体一点的解答过程啊?
(1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx
00,f(x)是增函数,f(0)
因为0
且an+1=an-sinan
(2)求证不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①
构造函数g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0
g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)单增,g'(x)>g'(0)=0
所以g(x)单增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立
因此an+1<(1/6)×(an)^3 成立。
证毕!
构造分式函数,利用分式函数的单调性证明不等式
【例1】证明不等式:≥ (人教版教材P23T4)
证明:构造函数f(x)= (x≥0)
则f(x)==1-在上单调递增
∵f(|a| + |b|)= f(|a + b|)=且|a| + |b|≥|a + b|
∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|) 即所证不等式正确。
点评:本题还可以继续推广。如:求证:≥。利用分式函数的单调性可以证明的教材中的习题还有很多,如:
P14第14题:已知c>a>b>0,求证:
P19第9题: 已知三角形三边的长是a,b,c,且m是正数,求证:
P12例题2:已知a,b,m,都是正数,且a 二、利用分式函数的奇偶性证明不等式
【例2】证明不等式:(x≠0)
证明:构造函数f(x)=
∵f(-x)=
=f(x)
∴f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称。
当x>0时,<0,f(x)<0;
当x<0时,-x>0,故f(x)=f(-x)<0
∴<0,即
三、构造一次函数,利用一次函数的单调性证明不等式
【例3】已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a + b + c 证明:构造函数f(c)=(1-ab)c + a + b-2
∵|a|<1,|b|<1
∴-10
∴f(c)的(-1,1)上是增函数
∵f(1)=1-ab + a + b -2=a + b–ab -1=a(1 - b)-(1 - b)=(1 - b)(a -1)<0
∴f(1)<0,即(1-ab)c + a + b-2<0
∴a + b + c 。
【扩展阅读篇】
用文字记载一个星期来的自己的思想、学习、生活情况的文字记录。
它有别于“流水账”,日记,在于流水账是有什么就记录什么,不需要作任何修饰和认识的升华,而且内容不限,一周之内可以记录您每一天的任何事情。而周记就是:每周一次,并且对自己的生活学习思想认识有一定的升华。 周记是对个人和某个团体一周的所见、所闻、所思、所感、所惑、所获的记录。还可以写一件在这一周里让你有所感触的事。
编辑本段作用
从学生角度来说,周记用来了解学生的思想动态,学习情况,答疑解惑,并通过周记的形式而置一些跟教育主题有关的主题作文,提高学生的认识,从而在全班范围内形成正确、积极、健康的舆论环境,并为主题班会准备材料,提高同学们参与的积极性。
从老师的角度来说,周记用来回顾一周的得失,提出经验教训,让班主任对班上情况有一个更加详细和全面的了解,提高工作的针对性和准确性。老师除了用来了解同学一周发生的事情外,还用来锻炼同学的文章水平,使同学文章水平得以提高。
编辑本段格式
周记的题目(写作范围:读后感;见闻;趣事;数学周记......)
1.记事
2.自评(优,缺)
3.解决措施
4.下周计划
5.自己的所见所闻所感
其实周记并没有一种标准的格式,只需要同学们每周把自己的所看到的、听到的、想到的、经历的东西记下来,形成的文字片断或一篇文章,一周写一则就可以了。
编辑本段怎么写周记
不少同学又开始问了,周记怎么写?小学初中周记开头怎么写?
如果是一个片断,将事情写清、将要表达的意思表达完整就行了,当然,时间充裕,你可以将前因后果,你的想法补充完整,形成一篇文章。不论无论,周记没有什么特殊规定的格式,跟我们平时说话写文章一样,要求就是条理清楚地说清一件事、一个想法。
周记的关键是要真,真事、真情、真想,不要虚构。用力表达你正经历的、正思考的事,对提高你的写作能力是有帮助的',不要当作负担,也不要觉得有任何压力,因为真的,只要排列一下就行了。
同时,周记交给老师后,也可让老师来了解你的生活、你的想法,或许对你有帮助。
去年也谈过周记怎么写,转到下面,大家再看看。
老师布置了周记作业,怎么写呢?许多同学发了愁。
其实周记也好,日记也好,都是要写一段时间内印象最深的事。周记就是本星期内的事。
回想一下这个星期发生了什么,在学习上有什么问题,班级里有什么新鲜事,和朋友老师间关系如何,这些都可以写,和日记相比周记可以写的内容更多了,需要突出一两个重点。
如果大脑里立刻就想起一二件事情,记忆深刻,那么恭喜,你就有材料了,将它们的前因后果,事情经过,个人感想写清楚吧。
有人会问:不好意思,一想到过去的几天,我印象里只记得吃了一次大餐,或者只记得被老师骂了一顿,或者跟同学闹别扭心里不爽,这些都没有重要意义,怎么能写呢?告诉你,既然你想到了,就说明是值得写的。有意义的事情,不一定非得是意义重大,思想崇高,自己的生活琐事,也是值得一写的,只要你写出你的感受。我们每天的日子不都是这些细小的沙子一样的事情组成的吗?这些沙子,串起了我们的欢笑,串起了我们的忧愁,串起了我们的无聊,引领着我们一天天,不知不觉地在长大。
更有一些同学说,这个周最无味,什么也没有发生,没什么可写的。再想想,再想想,多个心眼,仔细观察,你会找到的。
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