构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式

设f(x)在[0，1]上连续，且∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1(两个积分都是在0-1上的积分)，求证存在一点X∈[0,1]使∣f(x)∣>4

反证法

证明：

∵∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1

∴∫[x-(1/2)]f(x)dx=∫xf(x)dx-(1/2)∫f(x)dx=1

设在[0,1]上处处有|f(x)|<4

则∫[x-(1/2)]f(x)dx<=∫|[x-(1/2)]f(x)|dx

<4∫|x-(1/2)|dx (积分区间[0,1])

=4*{∫[(1/2)-x]dx+∫[x-(1/2)]dx} (积分区间分别为[0,1/2]和[1/2,1])

=4*{-(1/2)[0-(1/2)^2]+(1/2)[(1/2)^2-0]

=4*(1/2)(1/4+1/4)

=1

即∫[x-(1/2)]f(x)dx<1，与∫[x-(1/2)]f(x)dx=1矛盾

设在[0,1]上处处有|f(x)|=4

∵f(x)在[0，1]上连续

∴f(x)在[0，1]上恒等于4

或f(x)在[0，1]上恒等于-4

显然与∫f(x)dx=0矛盾

故以上两个假设均不成立。

∴必存在一点X∈[0,1]使∣f(x)∣>4

原不等式等价于

ln(b/a)>2(b/a-1)/(b/a+1)

由于b>a>0，令b/a=x，x>1

不等式化为lnx>2(x-1)/(x+1)

即lnx>2-4/(x+1)

建立辅助函数f(x)=lnx+4/(x+1)，x>1

f'=1/x-4/(x+1)^2=[(x+1)^2-4x]/[x(x+1)^2]

=(x-1)^2/[x(x+1)^2]>0

所以f(x)在[1,+∞)上单调递增，所以，当x>1时

f(x)>f(1),而f(1)=2

所以lnx+4/(x+1)>2

原不等式成立!

令f(x)=ln(x/a)-2(x-a)/(x+a)，a>0，x>0，

则f'(x)=1/x-4a/(x+a)^2=[(x-a)^2]/[x(x+a)^2]，

当x>a时，总有f'(x)>0，所以f(x)在[a,+∞)上单调增加，

当b>a时，总有f(b)>f(a)=0，即ln(b/a)>2(b-a)/(b+a).

你那个符号我打不出来，就用c代替了埃设F(x)的导数是f(x)。

情况1：f(x)恒大于0。要证的是：∫(上c下a)f(x)dx=3∫(上b下c)f(x)dx。→F(c)-F(a)=3F(b)-F(c)。→F(c)=[3F(b)+F(a)]/4。因为f(x)单调递增，易知F(x)也是单调递增的。则容易得到F(a)<[3F(b)+F(a)]/4

f(x)在[0,1]上单调递减，证明当x属于(0,1)时，x*[F(1)-F(0)]<=F(x)-F(0)

这个题目有问题，你所说的这种情况还要保证f(x)的2阶导数小于0!你可以把X移过去这样两边就是斜率的表达式， 可以作图观察，在图是凹的情况下不成立，在凸的情况下成立!在凸的情况下，你可以令G(X)=(F(X)-F(0))/X 然后对GX求导通过GX的单调性证明。

【扩展阅读篇】

用文字记载一个星期来的自己的思想、学习、生活情况的文字记录。

它有别于“流水账”，日记，在于流水账是有什么就记录什么，不需要作任何修饰和认识的升华，而且内容不限，一周之内可以记录您每一天的任何事情。而周记就是：每周一次，并且对自己的生活学习思想认识有一定的升华。 周记是对个人和某个团体一周的所见、所闻、所思、所感、所惑、所获的记录。还可以写一件在这一周里让你有所感触的事。

编辑本段作用

从学生角度来说，周记用来了解学生的思想动态，学习情况，答疑解惑，并通过周记的形式而置一些跟教育主题有关的主题作文，提高学生的认识，从而在全班范围内形成正确、积极、健康的舆论环境，并为主题班会准备材料，提高同学们参与的积极性。　

从老师的角度来说，周记用来回顾一周的得失，提出经验教训，让班主任对班上情况有一个更加详细和全面的了解，提高工作的针对性和准确性。老师除了用来了解同学一周发生的事情外，还用来锻炼同学的文章水平，使同学文章水平得以提高。

编辑本段格式

周记的题目(写作范围：读后感;见闻;趣事;数学周记......)

1.记事

2.自评(优，缺)

3.解决措施

4.下周计划

5.自己的所见所闻所感

其实周记并没有一种标准的格式，只需要同学们每周把自己的所看到的、听到的、想到的、经历的东西记下来，形成的文字片断或一篇文章，一周写一则就可以了。

编辑本段怎么写周记

不少同学又开始问了，周记怎么写?小学初中周记开头怎么写?

如果是一个片断，将事情写清、将要表达的意思表达完整就行了，当然，时间充裕，你可以将前因后果，你的想法补充完整，形成一篇文章。不论无论，周记没有什么特殊规定的格式，跟我们平时说话写文章一样，要求就是条理清楚地说清一件事、一个想法。

周记的关键是要真，真事、真情、真想，不要虚构。用力表达你正经历的、正思考的事，对提高你的写作能力是有帮助的'，不要当作负担，也不要觉得有任何压力，因为真的，只要排列一下就行了。

同时，周记交给老师后，也可让老师来了解你的生活、你的想法，或许对你有帮助。

去年也谈过周记怎么写，转到下面，大家再看看。

老师布置了周记作业，怎么写呢?许多同学发了愁。

其实周记也好，日记也好，都是要写一段时间内印象最深的事。周记就是本星期内的事。

回想一下这个星期发生了什么，在学习上有什么问题，班级里有什么新鲜事，和朋友老师间关系如何，这些都可以写，和日记相比周记可以写的内容更多了，需要突出一两个重点。

如果大脑里立刻就想起一二件事情，记忆深刻，那么恭喜，你就有材料了，将它们的前因后果，事情经过，个人感想写清楚吧。

有人会问：不好意思，一想到过去的几天，我印象里只记得吃了一次大餐，或者只记得被老师骂了一顿，或者跟同学闹别扭心里不爽，这些都没有重要意义，怎么能写呢?告诉你，既然你想到了，就说明是值得写的。有意义的事情，不一定非得是意义重大，思想崇高，自己的生活琐事，也是值得一写的，只要你写出你的感受。我们每天的日子不都是这些细小的沙子一样的事情组成的吗?这些沙子，串起了我们的欢笑，串起了我们的忧愁，串起了我们的无聊，引领着我们一天天，不知不觉地在长大。

更有一些同学说，这个周最无味，什么也没有发生，没什么可写的。再想想，再想想，多个心眼，仔细观察，你会找到的。