牛吃草数学题
【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】 草总量=原有草量+草每天生长量×天数
例1 一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?
解:草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5 天内的草总量要5 天吃完的`话,得有多少头牛? 设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:
(1)求草每天的生长量
因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);
另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,
所以1×10×20=原有草量+20天内生长量,
同理1×15×10=原有草量+10天内生长量
由此可知 (20-10)天内草的生长量为 1×10×20-1×15×10=50,
因此,草每天的生长量为 50÷(20-10)=5;
(2)求原有草量
原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100;
(3)求5 天内草总量
5 天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125;
(4)求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5=25(头)
答:需要5头牛5天可以把草吃完。
例2 一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?
解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:
(1)求每小时进水量
因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量,
10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量
所以,(10-3)小时内的进水量为 1×5×10-1×12×3=14,
因此,每小时的进水量为 14÷(10-3)=2;
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30;
(3)求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是 30÷(17-2)=2(小时)
答:17人2小时可以淘完水。
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