小学奥数同余的解题规律知识
(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如,除以5余3的数有
5×1+3=8,
5×2+3=13,
5×3+3=18,
5×4+3=23,
…………
(2)一个相同的数除以一些不同的数,可能会有相同的余数.如,389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.
389÷5=77……余4,
389÷7=55……余4,
389÷11=55……余4.
由此,我们可以来讨论下面的两个问题.
某数被5除余4,被7除也余4,被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有:
5×7×11+4=389,
5×7×11×2+4=774,
5×7×11×3+4=1159,
…………
答案有无数多个,但最小的只能是389.
现在,我们把这个问题上升到一般形式.
问题一某数分别除以a、b、c、……,都得到相同的余数k.求某数最小是多少?聪明的读者,能得出答案吗?
需要请读者注意的是,382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8,虽然都不相同,但是都与相应的除数相差同样多.即
5-2=3,
7-4=3,
11-8=3.
于是,我们也可以提这样的问题:
某数被5除余2,被7除余4,被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是
5×7×11×1-3=382,
5×7×11×2-3=767,
5×7×11×3-3=1152,
…………
答案有无数多个,但最小只能是382.
这个问题的一般形式是:
问题二某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……,并且,这些余数跟相应的`除数都相差同样多(也设为k),即
a-A=b-B=c-C=……=k. 求某数最小是多少?聪明的读者,能得出答案吗?
【规律】
某数分别除以a、b、c、……,都得到相同的余数k.求某数最小是多少?答案是
[a,b,c,……]+k.
某数分别除以a、b、c、……,得到相应的余数A、B、C、……,并且这些余数跟相应的除数都相差同样多(设为k),即
a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?答案是
[a,b,c,……]-k.
【练习】
1.某数分别除以3、5和7,都有相同的余数2.求某数最小是多少?(2除外)
2.某数被5、6、7除,都得到相同的余数1.问某数在1000以内有哪几个答案?
3.某数用5除余3,用7除余5,用9除余7,用11除余9.求某数最小是多少?
4.某数分别用5、7、9和11除,刚好都是差3才能整除.求某数最小是多少?
5.某数被2000除,余1993;被1999除,余1992;被1998除,余1991.求某数最小是多少?
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