数学二次函数 知识点总结

篇一：初三数学二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

a0）b，c是常数，1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。 这

c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，

数．

2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. yax2c的性质： 上加下减。

3. yaxh的性质：

左加右减。

2

4. yaxhk的性质：

2

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k； ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴yax2bxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成

yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成

ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4acb2b4acb2

者，即yax，其中h，． k

2a4a2a4a

2

2

2

五、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b

1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为．

2a4a2a

当x

bbb

时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小2a2a2a

4acb2

值．

4a

b4acb2bb

2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为时，y随．当x

2a4a2a2a

4acb2bb

． x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

2a2a4a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；

2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，

b

0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2a

b

0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

b

0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a

⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，当b0时，当b0时，

b

0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2a

b

0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

b

0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴x

b

在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是2a

“左同右异” 总结：

3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

ya2xbx关于cx轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；2. 关于y轴对称

ya2xbx关于cy轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；3. 关于原点对称

ya2xbx关于原点对称后，得到的解析式是cyax2bxc； yaxh关于原点对称后，得到的解析式是kyaxhk；

2

2

22

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

b2

yaxbx关于顶点对称后，得到的解析式是cyaxbxc；

2a

2

2

yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．5. 关于点m，n对称

n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk yaxhk关于点m，

2

2

22

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

① 当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

方程axbxc0a

0的两根．这两点间的距离ABx2x1.

2

② 当0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0． 2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

篇二：初三数学二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。 这b，c是常数，a0）里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

二次函数的基本形式yaxhk的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

k； 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k处，具体平移方法如下：

⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成

2

2

yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成

2

2

ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4acb2b4acb2

者，即yax，其中h，． k

2a4a2a4a

2

2

2

五、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴的交点0，

没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b

1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为．

2a4a2a

当x

bbb

时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小2a2a2a

4acb2

值．

4a

b4acb2bb

2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为时，y随．当x

2a4a2a2a

4acb2bb

． x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

4a2a2a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．a决定了抛物线开口的大小和方向，a

的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

ab的符号的判定：对称轴x

b

在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是2a

“左同右异”

3. 常数项cc决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

① 当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程axbxc0a0的两根．

这两点间的距离ABx2x1② 当0时，图象与x轴只有

2

一个交点； ③ 当0时，图象与x轴没有交点.1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任

何实数，都有y0；2' 当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x为自变量的二次函数y(m2)xmm2的图像经过原点， 则m的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查

两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykxbx1的图像大致是（ ）

2

2

2

3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选

拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x

5

，求这条抛物线的解析式。 3

4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3

已知抛物线yax2bxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－

2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 由抛物线的位置确定系数的符号

例1 （1）二次函数yax2bxc的图像如图1，则点M(b,)在（ ）

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

ca

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

2

例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+cO，其中正确结论的个数为( )A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个 答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线

2

2

x=2，则抛物线的顶点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C

例4、已知抛物线y=

125x+x-． 22

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数yx4x7的顶点坐标是()

2

2

2

A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把抛物线y2x向上平移1个单位，得到的抛物线是（）

A. y2(x1) B. y2(x1)C. y2x1D. y2x1 3.函数ykxk和y

2

2

2

2

k

(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的() x

4.已知二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4ab0④当y2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个

5.已知二次函数yaxbxc(a0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),

2

由图象可知关于x的一元二次方程axbxc0的两个根分别是x11.3和x2

2

2

（）

Ａ．－１.３ B.-2.3C.-0.3D.-3.3 6. 已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，则点(ac,bc)在（ ）

A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.方程2xx

2

2

2

的正根的个数为（） x

A.0个 B.1个C.2个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A. yxx2 B. yxx2

C. yxx2或yxx2D. yxx2或yxx2

2

2

2

2

2

2

篇三：2015初三数学二次函数知识点总结完整版

一、二次函数概念：

b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a， c可以为零．二次函数的 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，

定义域是全体实数．

2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. yax2c的性质： 上加下减。

3. yaxh的性质：

左加右减。

2

4. yaxhk的性质：

2

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k； ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数yaxh与 xbx的比较ckya2

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得b4acb2b4acb2

到前者，即yax，其中h，． k

2a4a2a4a

2

2

2

六、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b

1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为．

2a4a2a

当x当x

b

时，y随x的增大而减小； 2a

b

时，y随x的增大而增大； 2a

b4acb2

当x时，y有最小值．

2a4a

b4acb2bb

2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为时，

．当x

2a4a2a2a

4acb2bb

． y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

2a2a4a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式（交点式）：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为0对称轴为y轴）3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

0，Bx2，0(x1x2)，① 当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，其中的x1，x2是一元二

次方程ax2bxc0a0的两根．. ② 当0时，图象与x轴只有一个交点；

③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2' 当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0． 2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数yx4x7的顶点坐标是()

2

A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把抛物线y2x向上平移1个单位，得到的抛物线是（）

2

A. y2(x1)2 B. y2(x1)2C. y2x21D. 3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的()

4.已知二次

函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个

5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（）

Ａ．－１.３ B.-2.3C.-0.3D.-3.3

6. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（ ）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限 7.方程的正根的个数为（）

A.0个 B.1个C.2个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A. B.C. 或D. 或

二、填空题

9．二次函数的对称轴是，则_______。

10．已知抛物线y=-2（x+3）2+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。

12．抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。 13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c=。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是(π取3.14).

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,). (1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （0<t≤2），其中重力加速度g以10米/秒计算．这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

2

第15题图

篇五：史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分 基础知识

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数yax2的性质

（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）. 3.二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

b2a

4acb4a

2

2

4.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中h

2

2

，k.

2

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；⑤yax2bxc.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：yax

2

b4acb

bxcax

2a4a

2

2

b4acb

（），对称轴是直线x，∴顶点是.

2a2a4a

2

b

2

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线

xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对

称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

x

b2a

，故：①b0时，对称轴为y轴；②

ba

0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③

ba

0（即a、

b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

ba

0.

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2

2

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0, c).

2

（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah （3）抛物线与x轴的交点

2

bhc).

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两

个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横

坐标是ax2bxck的两个实数根.

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组

ykxnyax

2

bxc

l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时

l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是

方程ax2bxc0的两个根，故

x1x2

ba

,x1x2

ca

2

ABx1x2

x1x2x1x24x1x2

2

4cb

aa

2

b4aca

2

a

第二部分 典型习题

１.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是（ D ）

A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）

Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0

第２,３题图 第4题图

３.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ）A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0

４.如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、

B），设E到BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（ Ｄ ）

C

2

D

EF8

4x4

EF82x,yx

4x

５.抛物线yx22x3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为

6.已知二次函数y＝kx2＋(2k－1)x－1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当x＞x2时，y＞0；③方程kx2＋(2k－1)x1＝0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1＜1，x2＞－1；⑤

k

x2－x1，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．

7.已知直线y2xbb0与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为yx2b10xc. （1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；

（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式. 解：（1）yx10或yx4x6

b102

b16b100

4

2

2

2

将得cb.顶点坐标为(（0，b)代入，,)，由题意得2

b102

b

b16b100

4

2

，

解得b110,b26.

（2）y2x2

8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时, 相应的输出值分别为5,3,4．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc,

a(2)2b(2)c5c3a1

则a02b0c3,即2ab4 ,解得b2 abc4c3ab1

故所求的解析式为:yx22x3. （2)函数图象如图所示.

由图象可得，当输出值y为正数时， 输入值x的取值范围是x1或x3．

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼从最低上升到最高需要多少时间 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．

解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的

体温是上升的

它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶y

116

x2x2410x22

2

2

夜的体温变化情况绘制成下

的体温是上升的它的体温

第9题

10.已知抛物线yax(

43

3a)x4与x轴交于A、

B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得 △ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不 存在，请说明理由．

解：依题意，得点C的坐标为（0，4）．

设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），

篇六：初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结 原文阅读

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x)(x-x ) [仅限于与x轴有交点A（x，0）和 B（x，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的'交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x|

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

篇七：初三数学二次函数知识点总结

初三数学 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如yaxbxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数yaxbxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

2

2

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2

2. yaxc的性质： 上加下减。

2

3.

yaxh

2

的性质：

左加右减。

4.

yaxhk

2

的性质：

三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式⑵ 保持抛物线

yax

2

yaxhk

2

，确定其顶点坐标

h，k；

的形状不变，将其顶点平移到

h，k处，具体平移方法如下：

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴

yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成

2

2

22

yaxbxcm（或yaxbxcm）

yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成ya(xm)b(xm)c⑵

ya(xm)b(xm)c） （或

四、二次函数

yaxhk

2

222

2

与

2

yaxbxc

2

2

的比较

是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即

从解析式上看，

yaxhk

与

yaxbxc

2

b4acbb4acb

yaxh，k

2a4a2a4a，其中．

2

2

五、二次函数

yaxbxc

2

图象的画法

yaxbxc

2

五点绘图法：利用配方法将二次函数

，确定其开口方向、对称轴及顶

0，c、以及0，cy

点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点关于对称轴对称的点点）.

化为顶点式

ya(xh)k

2

2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的

y

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与 六、二次函数

yaxbxc

2

轴的交点.

的性质

b

2

b4acb

x

2a4a． a02a 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为

x

b

2a时，y随x的增大而减小；当

x

b

2a时，y随x的增大而增大；当

x

b

2a时，y有最小值

4acb4a

2

当．

2b4acbbxx

4a．当2a，顶点坐标为2a2a时，y随x的增大 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为

b

x

b

2a时，y随x的增大而减小；当

x

b

2a时，y有最大值

4acb4a

2

而增大；当．

七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2. 顶点式：

yaxbxc

2

2

（a，b，c为常数，a0）； （a，h，k为常数，a0）；

ya(xh)k

ya(xx1)(xx2)xx

3. 两根式：（a0，1，2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有

交点，即b4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a

二次函数

yaxbxc

2

2

中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，2. 一次项系数b

a

的大小决定开口的大小．

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

b2ab2ab2a

当b0时，当b0时，当b0时，

，即抛物线的对称轴在0

y

轴左侧；

y

，即抛物线的对称轴就是0

轴；

，即抛物线对称轴在

y

轴的右侧．

⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即

b2ab2ab2a

当b0时，当b0时，当b0时，

，即抛物线的对称轴在0

y

轴右侧；

y

，即抛物线的对称轴就是0

轴；

，即抛物线对称轴在

y

轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴

总结：3. 常数项c

x

b

2a在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同右异”

yy

⑴ 当c0时，抛物线与轴的交点在x轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； yy

⑵ 当c0时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为0； yy

⑶ 当c0时，抛物线与轴的交点在x轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与 总之，只要

二次函数解析式的确定：

a，b，c

y

轴交点的位置．

都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

yaxbxc

2

2

yaxbxc

关于x轴对称后，得到的解析式是；

2

yaxhk

关于x轴对称后，得到的解析式是

yaxhk

2

；

2. 关于

y

轴对称

2

yaxbxc

2

关于

y

轴对称后，得到的解析式是

y

yaxbxc

2

2

；

yaxhk

关于轴对称后，得到的解析式是

yaxhk

；

3. 关于原点对称

yaxbxc

2

2

关于原点对称后，得到的解析式是

yaxbxc

2

2

；

yaxhk

关于原点对称后，得到的解析式是

yaxhk

；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

yaxbxc

2

b

2

yaxbxc

2

2

关于顶点对称后，得到的解析式是

2

2a；

yaxhk

关于顶点对称后，得到的解析式是

yaxhk

．

5. 关于点

m，n对称

2

yaxhk

m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m关于点

2

2nk

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此

a

永远不变．求抛物线的对称抛

物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

2

yaxbxcy0

一元二次方程axbxc0是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

2Ax1，0，Bx2，0(x1x2)x，x2

① 当b4ac0时，图象与x轴交于两点，其中的1是一元二次方程

2

axbxc0a

2

ABx2x1

的两根．这两点间的距离.

② 当0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

篇八：初中数学二次函数知识点总结

二次函数的图象与性质

二次函数 开口方向 对称轴 顶点 增减性 最大（小）值

y = ax2 a>0时，开口向上；a<0抛时，开口向下。

x=0 （0，0） 当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；

当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小。 a="">0时，当x=0时，=0；

当a<0时，当x=0时，=0；

y = ax2+c x=0 （0，c） 当a>0时，当x=0时，=c；

当a<0时，当x=0时，=c；

y = a（x-h）2 x=h （h，0） 当a>0时，当x=h时，y最小=0；

当a<0时，当x=h时，y最大=0；

y = a（x-h）2 +k x=h （h，k） 当a>0时，当x=h时，y最小=k；

当a<0时，当x=h时，y最大=k；

y = ax2+bx+c x= （，） 当a>0时，当x=h时，y最小=k；

当a<0时，当x=h时，y最大=k；

其中h=，k=

★二次函数y = ax2 、y = ax2+c、y = a（x-h）2 以及y = a（x-h）2 +k的形状相同，只是位置不同，相互之间可以通过平移得到，一般式y = ax2+bx+c可以通过配方化成y = a（x-h）2 +k的形式。

3.二次函数的解析式

二次函数解析式常见有三种形式：

①一般式：y = ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）

②顶点式：y = a（x-h）2 +k（a、h、k是常数，且a≠0）

③交点式：y=a（x-x1）（ x-x2）（a、x1、x2是常数，且a≠0，x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）。

★抛物线y = ax2 的开口大小由∣a∣决定：∣a∣越大，开口越小；∣a∣

越小，开口越大。

一般式

y=ax+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b2/4a) ；

顶点式

y=a(x-h)2;+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2;的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线,即b2-4ac≥0] ；由一般式变为交点式的步骤：∵

X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴y=ax2;+bx+c=a（x2;+b/ax+c/a）

=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，

二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）a,b同号，对称轴在y轴左侧 b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧

顶点

2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a

开口

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

决定对称轴位置的因素

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- 2a="">0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab< 0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定二次函数图像与y轴交点的因素

5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)

二次函数图像与x轴交点个数

6.二次函数图像与x轴交点个数a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点_______当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x>h范围内事增函数，在x<h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数

7.定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 。周期性：无解析式：①y=ax2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b>0，图象与x轴交于两点：（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ=0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ<0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)2+k[顶点式]此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b k="(4ac-b2)/4a；③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=(X1+X2)/2" a="">0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0

且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。

两图像对称

①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称；②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称；③y=ax2+bx+c与y=-a(x-h﹚2+k关于顶点对称；④y=ax2+bx+c与y=-a(x+h﹚2-k关于原点对称。

篇九：中学数学二次函数知识点总结教案

二次函数知识点总结

二次函数知识点：

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b、c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二次函数的基本形式

ya(xh)2k的性质：

总结：

二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式ya(xh)k，确定其顶点坐标(h,k)； ⑵ 保持抛物线yax的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：

2

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】 2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成“自变量加减左右移，函数加减上下移”．

二次函数yaxbxc的性质 对称轴为x

2

b2a

，顶点坐标为(

b2a

,

4acb4a

b2ab2a

2

)

1.当a0时，抛物线开口向上，． 当x

b2ab2a

时，y随x的增大而减小；当x

b2ab

时，y随x的增大而增大；当x

时，ymin

4acb4a

2

．2.

当a0时，抛物线开口向下， 当x

时，y随x的增大而增大；当x

2a

时，y随x的增大而减小；当x

y时，

ymax

4acb4a

2

．

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc(a,b,c为常数，a0)；

2. 顶点式：ya(xh)k(a,h,k为常数，a0)，其中h

2

b2a

4a

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

，k

4acb

2

；

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示． 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

① 当b24ac0时，图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)，其中的x1,x2是一元二次方程

axbxc0(a

0)的两根．这两点间的距离AB|x1x2|

2

|a|

.

② 当0时，图象与x轴只有一个交点；

③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

2'

当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2

2. 抛物线yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yaxbxc中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

2

篇十：2015北京数学初三二次函数知识点总结

初三数学 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念：

a0）b，c是常数，1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。 这

c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，

数．

2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，

二、二次函数的基本形式

二次函数的基本形式yaxhk的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

k； 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，

2

⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成

2

2

yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成

ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c） 四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4acb2b4acb2

者，即yax，其中h，． k

2a4a2a4a

2

2

2

五、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b

1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为．

2a4a2a

当x

bbb

时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小2a2a2a

4acb2

值．

4a

b4acb2bb

2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为时，y随．当x

2a4a2a2a

bb4acb2

． x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

2a2a4a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．a决定了抛物线开口的大小和方向，a

的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

ab的符号的判定：对称轴x

b

在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是2a

“左同右异”

3. 常数项cc决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

① 当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程axbxc0a0的两根．

这两点间的距离ABx2x1. ② 当0时，图象与x轴只有

2

一个交点； ③ 当0时，图象与x轴没有交点.1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任

何实数，都有y0；2' 当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x为自变量的二次函数y(m2)xmm2的图像经过原点， 则m的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查

两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

2

如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykxbx1的图像大致是（ ）

2

2

3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选

拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x

5

，求这条抛物线的解析式。 3

4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3

已知抛物线yax2bxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－

2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 由抛物线的位置确定系数的符号

例1 （1）二次函数yax2bxc的图像如图1，则点M(b,)在（ ）

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

ca

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

2

例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+cO，其中正确结论的个数为( )A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个 答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线

2

2

x=2，则抛物线的顶点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C

例4、已知抛物线y=

125x+x-． 22

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数yx24x7的顶点坐标是()

A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）

A. y2(x1)2 B. y2(x1)2C. y2x21D. y2x21 3.函数ykx2k和y

k

(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的() x

4.已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4ab0④当y2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个

5.已知二次函数yaxbxc(a0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程axbxc0的两个根分别是x11.3和x2（）

Ａ．－１.３ B.-2.3C.-0.3D.-3.3 6. 已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，则点(ac,bc)在（ ）

A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.方程2xx

2

2

2

2

2

的正根的个数为（） x

A.0个 B.1个C.2个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A. yxx2 B. yxx2

C. yxx2或yxx2D. yxx2或yxx2

2

2

2

2

2

2