绝对值不等式性质及几何意义

绝对值不等式

简介

在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

性质

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

2.|a|＜|b| 可逆 a＜b

另外

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成立，ab≤0时右边等号成立。

几何意义

1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的`距离等于它们到原点的距离之和。 2.当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)

绝对值重要不等式

我们知道

|a|={a，(a＞0)， a，（a=0)， ﹣a，（a＜0)，}

因此，有

﹣|a|≤a≤|a|

﹣|b|≤b≤|b|

同样地

①，②相加得

﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即 |a+b|≤|a|+|b|

显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。

由③可得

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|，

即 |a|-|b|≤|a+b|

综合③，④我们得到有关绝对值（absolute value)的重要不等式

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|