关于巧用三角函数求解物理量极值问题
三角函数求物理量的极值,往往是求出与被求物理量相关的三角函数表达式,经过三角函数的相关知识化简,再利用三角函数的有界性或不等式等知识进行处理得出结论.下面我们就来看几例利用三角函数求解物理极值的问题,以求在教学中能对培养学生的这方面能力有所帮助.
1 利用两角和(差)公式及三角函数有界性求解解析 根据质点受力情况和牛顿第二定律,可知质点在光滑斜轨道上的加速度
a=FM=gcosα,
在△APB中,∠APB=∠CPB-∠CPA=θ-α,
由几何知识有PA=s=PBcos(θ-α)=hcos(θ-α).
则质点沿PA做v0=0的匀加速直线运动的时间为
t=2sa=2hgcos(θ-α)cosα.
令y=cos(θ-α)cosα,则由“积化和差”公式:
cosβcosα =12,
得y=12,
此时时间的最小值t=2hgymax=2hg(cosθ+1).
本题不用“积化和差”公式而用其他办法也可求极值,但比较麻烦.另外此题结论可用“等时圆”加以验证.
2 利用“化一”法求三角函数极值对于较为复杂的三角函数,例如y=asinθ+bcosθ,要求极值时,先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ,变成同名的三角函数,这个工作叫做“化一”.
因为 y=asinθ+bcosθ
=a2+b2(aa2+b2sinθ+ba2+b2cosθ)
=a2+b2(cossinθ+sincosθ)
=a2+b2sin(θ+),
其中tan=bal,故y的极大值为a2+b2.
例2 如图2所示,在竖直放置的光滑绝缘圆环上,有一带负电可以滑动的小球m套在环的'顶端,整个装置在图示的正交的匀强磁场中,磁场与圆环的圆面垂直,若小球所受的电场力和重力大小相等,则当小球沿着环相对圆心滑过的角度多大时,它所受的洛伦兹力最大?
解析 因小球运动的v总与B垂直,故洛伦兹力表达式为:f=Bqv,只要速度达最大,洛伦兹力即最大,则由动能定理知当合外力做功WE+WG最大时满足条件,设小球从图示位置转过θ角,则
WE+WG=Eqrsinθ+mgr(1-cosθ)
=mgr(sinθ-cosθ+1)
=mgr2sin(θ-45°)+1.
由上式知当θ=145°时合外力做功最大.即物体获得速度最大,满足条件.
3 利用基本不等式与三角函数结合来处理如果a,b,c为正数,则有a+b+c≥3abc,当且仅当a=b=c时,上式取“=”号.
推论:
①三个正数的积一定时,三数相等时,其和最小;
②三个正数的和一定时,三数相等时,其积最大.
例3 如图3所示的带等量同种电荷的两个点电荷A、B所带电量均为Q,相距2a,则在它们连线的中垂线上,哪一点的电场强度最大?最大值为多少?
解析 设在点电荷A、B的连线的中垂线上有一点P,且AP与中垂线夹角为θ,则
将(3)式左右都平方,并整理成
=427(2kQa2)2,
所以E≤43kQ9a2.
就是说,当θ=arctan2(差不多是55°)时,P点的电场强度最大:
Emax=43kQ9a2.
4 利用导数法求解三角函数极值问题若物理量曲线的切线的斜率为零时,说明这个时候物理量的变化率为零,这时,该物理量一定具有极值,可能是最大值,也可能是最小值,也可能是变化过程中的极值.这为我们求物理量的最大值和最小值提供了方法.
例4 一轻绳一端固定在O点,另一端拴着一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无初速的释放,如图所示,小球在运动至轻绳达到垂直位置过程中,小球所受重力功率的最大值?
解析 设小球运动到与水平方向成α角,则速度v和重力mg之间的夹角也为α,小球从A到C由动能定理
由功率定义式P=mgvcosa=mg2gRsinαcos2α,对功率P求导:
P′=mg2gR(cos3α-2sin2αcosα)2sinαcosα
解得sinα=33时P具有极值,再求P在sinα=33处的二阶导数,p″=-mg2gRcosαsinα
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