有关数学直角三角形内切圆答题技巧

我们知道利用面积法可以解决直角三角形内切圆半径的问题，在此基础上发现若有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，具体过程如下。

已知：在Rt⊿ABC中，⊙O1 ,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1 切AC、AB于D、E两点，⊙O2 切BC、AB于F、G两点，若AC=4,BC=3，求⊙O1与⊙O2的半径。

解：连接O1 A, O1 D, O1 E, O1 C, O1 O2, O2 C, O2 F, O2 B, O2 G, O1 G,过C作CIAB交AB于I,交O1 O2于J

设⊙O1与⊙O2的半径为r

∵⊙O1 ,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1 切AC、AB于D、E两点，

⊙O2 切BC、AB于F、G两点

O1 DAC , O1 EAB, O2 GAB, O2 FBC

S⊿AO1C=

ACO1D=2r S⊿BO2C=

BCO2F=1.5r

S⊿AO1G+ S⊿O2GB =

AGO1E+

GBO2G=

r(AG+ GB)=2.5r

又∵CIAB交AB于I,交O1 O2于J

CJ+ O2G = CJ+JI=CI CI=

=2.4

S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G =

O1 O2CJ+

O1 O2O2G=

O1 O2CI=2.4r

即S⊿ABC= S⊿AO1C+ S⊿BO2C+ S⊿AO1G+ S⊿O2GB+ S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G=

=6

8.4r=6 , r=

现推广到一般情况在Rt⊿ABC中C=90，⊙O1 ,⊙O2⊙On(n为正整数)两两等圆外切, ⊙O1切AC、AB,⊙On 切BC、AB, 若AC=b,BC=a,求⊙O1 ，⊙O2 ,⊙On的'半径。

解：用类比思想我们可以知道,设⊙O1 ，⊙O2 ,⊙On的半径为r

S⊿ABC = S1+ S2+ (S3+ S4)+ (S5+ S6)=

br+

ar+

r+

2(n-1)

r

又∵S⊿ABC =

ab

r=