高考数学关于对称问题分类探析的知识点

一、点关于已知点或已知直线对称点问题

1、设点P（x，y）关于点（a，b）对称点为P（x，y），x=2a—x。

由中点坐标公式可得：y=2b—y。

2、点P（x，y）关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为：

x=x—（Ax+By+C）

P（x，y）则

y=y—（AX+BY+C）

事实上：∵PPL及PP的中点在直线L上，可得：Ax+By=—Ax—By—2C。

解此方程组可得结论。

（—）=—1（B0）。

特别地，点P（x，y）关于：

1、x轴和y轴的对称点分别为（x，—y）和（—x，y）。

2、直线x=a和y=a的对标点分别为（2a—x，y）和（x，2a—y）。

3、直线y=x和y=—x的对称点分别为（y，x）和（—y，—x）。

例1光线从A（3，4）发出后经过直线x—2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B（1，5），求射入y轴后的反射线所在的直线方程。

解：如图，由公式可求得A关于直线x—2y=0的对称点。

A（5，0），B关于y轴对称点B为（—1，5），直线AB的方程为5x+6y—25=0。

`C（0，）。

`直线BC的方程为：5x—6y+25=0。

二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题

求已知曲线F（x，y）=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F（x，y）=O上任意一点（x，y）关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F（x，y）=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。

1、曲线F（x，y）=0关于点（a，b）的对称曲线的方程是F（2a—x，2b—y）=0。

2、曲线F（x，y）=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F（x—（Ax+By+C），y—（Ax+By+C））=0。

特别地，曲线F（x，y）=0关于。

（1）x轴和y轴对称的曲线方程分别是F（x，—y）和F（—x，y）=0。

（2）关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F（2a—x，y）=0和F（x，2a—y）=0。

（3）关于直线y=x和y=—x对称的曲线方程分别是F（y，x）=0和F（—y，—x）=0。

除此以外还有以下两个结论：对函数y=f（x）的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f（|x|）的`图象；保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f（x）|的图象。

例2（全国高考试题）设曲线C的方程是y=x3—x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1：

1）写出曲线C1的方程。

2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称。

（1）解知C1的方程为y=（x—t）3—（x—t）+s。

（2）证明在曲线C上任取一点B（a，b），设B1（a1，b1）是B关于A的对称点，由a=t—a1，b=s—b1，代入C的方程得：

s—b1=（t—a1）3—（t—a1）。

b1=（a1—t）3—（a1—t）+s。

B1（a1，b1）满足C1的方程。

B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。

曲线C和C1关于a对称。

我们用前面的结论来证：点P（x，y）关于A的对称点为P1（t—x，s—y），为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程，得：s—y=（t—x）3—（t—x）。

y=（x—t）3—（x—t）+s。

此即为C1的方程，`C关于A的对称曲线即为C1。

三、曲线本身的对称问题

曲线F（x，y）=0为（中心或轴）对称曲线的充要条件是曲线F（x，y）=0上任意一点P（x，y）（关于对称中心或对称轴）的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标后方程不变。

例如抛物线y2=—8x上任一点p（x，y）与x轴即y=0的对称点p（x，—y），其坐标也满足方程y2=—8x，`y2=—8x关于x轴对称。

例3方程xy2—x2y=2x所表示的曲线：

A、关于y轴对称B、关于直线x+y=0对称。

C、关于原点对称D、关于直线x—y=0对称。

解：在方程中以—x换x，同时以—y换y得。

（—x）（—y）2—（—x）2（—y）=—2x，即xy2—x2y=2x方程不变。

曲线关于原点对称。

函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：

1、函数f（x）定义线为R，a为常数，若对任意xR，均有f（a+x）=f（a—x），则y=f（x）的图象关于x=a对称。

这是因为a+x和a—x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a对称，由x的任意性可得结论。

例如对于f（x）若tR均有f（2+t）=f（2—t）则f（x）图象关于x=2对称。若将条件改为f（1+t）=f（3—t）或f（t）=f（4—t）结论又如何呢？第一式中令t=1+m则得f（2+m）=f（2—m）；第二式中令t=2+m，也得f（2+m）=f（2—m），所以仍有同样结论即关于x=2对称，由此我们得出以下的更一般的结论：

2、函数f（x）定义域为R，a、b为常数，若对任意xR均有f（a+x）=f（b—x），则其图象关于直线x=对称。

我们再来探讨以下问题：若将条件改为f（2+t）=—f（2—t）结论又如何呢？试想如果2改成0的话得f（t）=—f（t）这是奇函数，图象关于（0，0）成中心对称，现在是f（2+t）=—f（2—t）造成了平移，由此我们猜想，图象关于M（2，0）成中心对称。如图，取点A（2+t，f（2+t））其关于M（2，0）的对称点为A（2—x，—f（2+x））。

∵—f（2+X）=f（2—x）`A的坐标为（2—x，f（2—x））显然在图象上。

图象关于M（2，0）成中心对称。

若将条件改为f（x）=—f（4—x）结论一样，推广至一般可得以下重要结论：

3、f（X）定义域为R，a、b为常数，若对任意xR均有f（a+x）=—f（b—x），则其图象关于点M（，0）成中心对称。