中考数学探索性问题知识点

一、探索性问题

数学探索性问题知识点" title="中考数学探索性问题知识点">

是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论，需要经过推断、补充、并加以证明的问题。其典型特点是不确定性。主要包括（1）条件探索型，（2）结论探索型，（3）存在性探索型等。

条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。

探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。

解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。解题时应注意知识的综合运用。

二、理解掌握

例一、已知：（如图）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的条件是_____（只填一个）。（答案：∠ABP=∠C，或∠ABC=∠APC，或AB2=APAC）

说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。

例二、如图， ☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明。（本题将按正确答案的难易程度评分）

结论1： PA=PB=PT 结论2：AT⊥BT。（或AT2+BT2=AB2）

结论3： ∠BAT=∠TBO1 结论4： ∠OTA=∠PTB

结论5：∠APT=∠BO1T 结论6：∠BPT=∠AOT

结论7：ΔOAT∽ΔPBT 结论8：ΔAPT∽ΔBO1T

设OT=R， O1T=r， 结论9：PT2=Rr

结论10： AB=2√Rr 结论11：S梯形AOO1B=（R+r）√Rr

结论12：以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T点。

说明：你还能得出其它的结论吗？试试看。本题是由初三几何书上的例题改编的，对基本图形的再认识，对图形间的内在关系的深刻挖掘，有助于透彻理解知识。

例三、已知二次函数ｙ＝１／２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点Ａ（－３，６）、和ｘ轴交于点Ｂ（－１，０）和点Ｃ，抛物线的顶点为Ｐ。

（１）求这个函数的解析式；

（２）线段ＯＣ上是否存在点Ｄ，使∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＤ

分析：函数的解析式为ｙ＝１／２ｘ２－ｘ－３／２

＝１／２（ｘ－１）２－２，

各点坐标分别为：Ａ（—3，6）、Ｂ（—1，0）、Ｃ（3，0）、

Ｅ（—3，0）、Ｆ（1，O）、Ｐ（1，—2）。

设存在点Ｄ（a，0），使∠CAB=∠CPD。作AE⊥x轴于点E，则ΔAEC和ΔPFC都是等腰直角三角形，∴AC=6√2，PC=2√2，∠ACE=∠PCD=45°∵∠CAB=∠CPD ∴ΔABC∽ΔPDC∴AC：ＰＣ＝ＢＣ：ＤＣ，即６√２ ： ２√２＝４ ：（3—a）

解之得：a=5/3。 ∴存在这样的点D（5/3，0），使∠CAB=∠CPD。

说明：本题是代数与几何结合的探索性题，涉及的知识点多，难点是寻求数与形的结合点，用到的数学思想方法多，如数形结合思想，方程思想，转化思想，待定系数法，配方法，采用观察、试验、猜想、比较等方法，把角相等转化为三角形相似，利用对应边成比例的关系得出方程，从而解决问题。与函数有关的探索题如果所求的点在图象上，有时还要代入解析式，利用方程组来解决问题。

三、巩固训练

1、已知AC、AB是☉O的弦，AB > AC，（如图）能否在AB 上确定一点E，使AC2=AEAB

分析：作 AM=AC，连结CM交AB于点E，连结CB，可证ΔACE ∽Δ ABC，即可得出结论。

2、关于ｘ的方程x２—（5+1）x+２—2=0，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和为4？若存在，求出满足条件的的'值；若不存在，说明理由。

提示：设方程的两个实数根为x1、x2。

由根与系数关系，得x1+x2=5+1，x1x2=2—2。

由题意知得方程，化简得 42—5—9=0， ∴ 1=—1，2=9/4（不合题意，舍去）

把=—1代入根的判别式，Δ=20>0。

∴ 存在满足条件的，=—1。

3、已知一次函数=—X+6和反比例函数=/x（≠0）。（1）满足什么条件时，这两个函数在（2）设（1）中的两个公共点分别为A、Ｂ，∠ＡＯＢ是锐角还是钝角？

答案：（1）<9且≠0：

（2）分两种情况讨论当0<<9时，∠ＡＯＢ是锐角；当<0时，∠ＡＯＢ是钝角。

四、拓展应用

1、如图，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），

那么（1）当t为何值时，ΔQAP为等腰三角形？

（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；

（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形 与ΔABC相似？

解：（1）对于任时刻的t，AP=2t，DQ=t，QA=6—t。

当QA=AP时，ΔQAP为等腰三角形，即6—t=2t，解得t=2（秒），

∴当t=2秒时，ΔQAP为等腰三角形，

（2） 在ΔQAC中，QA=6—t，QA边上的高DC=12，

∴SΔQAC=1/2QADC=1/2（6—t）12=36—6t。

在ΔAPC中，AP=2t，BC=6，

∴SΔAPC =1/2APBC=1/22t6=6t。

∴S四边形QAPC= SΔQAC + SΔAPC =（36—6t）+6t=36（厘米2）

（3）略解：分两种情况讨论： ①当QA ：AB=AP：BC时，ΔQAP∽ΔABC，

可解得t=1。2（秒）

②当QA：BC =AP：AB时， ΔPAQ ∽Δ ABC，可解得t=3（秒）

∴ 当t=1。2秒或t=3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ΔABC相似。

2、如图，已知在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC，交AB于点F，连结FC（AB>AE）。

（1）ΔAEF与ΔECF是否相似。若相似，证明你的结论；若不相似，说明理由。

（2）设AB/BC=，是否存在这样的值，使得ΔAEF与ΔECF相似？

若存在，证明你的结论；

若不存在，说明理由。