六年级奥数之趣味数学题

在下面的算式里，共有十个空白方框。把0、1、2、…、9这十个不同数字全部填进去，使每个数字各自占据一个方框(“各据一方”)，并且得到三个正确等式，应该怎样填?

□+□=□，

□+□=□，

□×□=□□。

容易验证，下面的填法完全满足要求：

1+7=8，

3+6=9，

4×5=20。

怎么知道能这样填?有没有其他不同填法呢?

由于十个方框里的数字各不相同，0又不能做二位数的首位数字，所以0只能填在第三个等式里的最后一个方框，作为二位数的`末位数字。

由此推出，第三式的左边一定有一个方框里填5，另一个填写偶数非零数字，可能是2、4、6、8中的某一个，并且所填的这个偶数数字的一半，恰好等于等号右边乘积的十位数字。

0和5已经有了确定的位置，剩下的数字是1、2、3、4、6、7、8、9。要把这八个数字分成三组，前两组各有三个数字，并且其中最大的等于另两个的和;最后一组包含两个数字，其中一个等于另一个的两倍。不考虑顺序，唯一可能的分组方法是：

(1，7，8)，(3，6，9)，(2，4)。

这样就得到上面写出的填法。

两个加法算式可以互相交换位置，加号和乘号前后的两个数可以交换位置，这些简单变形可以不加区别。在这种意义上，本题只有唯一的答案。

从上面这道题，可以变化出一道新题。

减法是加法的逆运算。从一个加法算式

3+6=9，

可以得到两个减法算式

9-3=6，9-6=3。

所以，知道怎样解答上面这道题目，也就会解答从它变形得到的下面的问题：

把0、1、2、…、9这十个不同数字全部填进下面的空格，使每个数字各占一格，并且得到三个正确等式，应该怎样填?

□+□=□，

□-□=□，

□×□=□□。

变形以后的题目，有加、有减、有乘，变化更多，答案也从1个变成4个了。