小学数学难题解法之巧妙解题方法

文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。

模式法

在解决问题时，寻找模式的思考方法是一种十分有效的策略。运用这种方法时，从问题的最简单例子或其变式着手，根据这些具体例子来发现其中的模式或规则，然后以此来获取问题的一般解。

寻找模式，提出并检验猜想以及用公式表示判断准则，虽然不是数学的全部内容，但它们是数学思想、思维、概括数学知识的核心问题。

例1 阶梯问题：造4步的阶梯需要方块10个，造10步的阶梯需要多少块?造20步的需要多少块?

4步的阶梯，第一步用1块，第二步用2块(右边第二列)，第三步用3块，等等。

加起来就得到所需的总数：

1+2+3+4=10

建造10步的阶梯，可从四步的阶梯开始首先加上第五步的5块这一列，随之是第六步的6块这一列，等等，直到第10步。总数是：

1+2+3+……+9+10=55(块)

不难发现这样的模式：每加上一步所需的'块数正好是这一步的顺序数。因此把1到20的整数相加就可得到20步阶梯的方块总数。然而要计算这个总和比较麻烦。要直接得到这个总和，除非有个计算公式。如果学生不熟悉这种公式，则可以从以下的数字资料中去寻找可能模式：

4步阶梯 需要10块

10步阶梯 需要55块

能否察觉步数与所需块数之和间的关系?从仅有的两个例子来发现模式是有困难的，需要考察更多的特殊例子。为此可把一些比较简单的例子集中起来，将有关数据记录在表中。

让学生试着去发现步数与所需块数之间的关系。因关系很不明显，学生只能看出得数是整数。这时如能作出一个猜想，并进而检验这个猜想，便是解决这个问题的良好开端。学生可以思考4与10、5与15、7与28等等有着怎样的关系。

几次“追踪”后，可给学生指出(4×5)÷2=10，同样地(5×6)÷2=15。于是学生似乎感到有法则可依循。然后再一起来检验这个法则：(6×7)÷2=21，……(10×11)÷2=55，学生猜测几步阶梯所需的方块数总和是由公式n(n+1)÷2来确定的。在这个时候学生有理由相信20步阶梯所需的总块数是(20×21)÷2=210。但还不能完全肯定这个结果。

我们所以要寻求规律，目的是要能够以此作出一个可以导致解决问题的一般公式的猜想或假设。但这必须小心谨慎，因为往往会出现所作的猜想对列举的例子是成立的，而对于一般化的问题却不成立的情况。

只有猜想得到了证明，才是求得了一般解的公式，为此必须确立猜想的有效性。可以通过以下两者之一来实现：

(1)归纳。证明法则在第一个例子中是成立的、假定对某个给定的例子的前面所有例子都成立，证明某个给定的例子后一个例子也成立，由此可证得猜想成立。

(2)演绎。根据已知的事实，通过逻辑推理而导出。只有在这时猜想才可称作判断准则。如果能找出一个不满足猜想的例子，则就足以否定猜想的有效性。

怎样确定阶梯的步数与所需的块数之间的假设关系是有效的呢?学生猜测所需的方块数是由n(n+1)÷2式确定的。n是步数，学生可以通过实验来验证这个猜想。在建造阶梯的过程中学生已经看到，如果有n步，需要的块数是前n个自然数的和，即

1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n

如果第一个数加最后一个数，和是n+1;第二个数加上倒数第二个数，得2+(n-1)=n+1;第三个数加上倒数第三个数，得3+(n-2)=n+1。同样的方法连续配对相加，各对数的和均是n+1。

这就是所作的猜想。这样，就得到了判断前n个自然数的和的方法即法则，同时也解决了原先的问题。

例2 根据模式

你能预测下图的结果吗?

仔细审视考察表：

可以作出何种猜想?分析这个表可发现区域数是由公式2n-1确定的，其中n是点子数。n=1、2、3、4、5都是正确的。

根据相应的法则，6个点的区域数应是数26-1=32，但实际上不是这个数字，而是30或31(见图)。所以这个猜想不能概括为法则。