八年级上册数学《因式分解》期中复习知识点
(1)因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
(2)公因式:一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式.
(3)确定公因式的方法:公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数最低的.
(4)提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
(5)提出多项式的公因式以后,另一个因式的确定方法是:用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.
(6)如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的,在提出“-”号时,多项式的各项都要变号.
(7)因式分解和整式乘法的关系:因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程,整式乘法的结果是整式,因式分解的结果是乘积式.
(8)运用公式法:如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
(9)平方差公式:两数平方差,等于这两数的和乘以这两数的差,字母表达式:a2-b2=(a+b)(a-b)
(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式
①系数能平方,(指的系数是完全平方数)
②字母指数要成双,(指的指数是偶数)
③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)
(11)用平方差公式分解因式的关键:把每一项写成平方的形式,并能正确地判断出a,b分别等于什么.
(l2)完全平方公式:两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方.字母表达式:a2±2ab+b2=(a±b)2
(13)完全平方公式的特点:
①它是一个三项式.
②其中有两项是某两数的平方和.
③第三项是这两数积的正二倍或负二倍.
④具备以上三方面的特点以后,就等于这两数和(或者差)的平方.
(14)立方和与立方差公式:两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和).
(15)利用立方和与立方差分解因式的关键:能把这两项写成某两数立方的形式.
(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解:如果一个多项式的项分组并提出公因式后,各组之间又能继续分解因式,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.
(17)分组分解法的前提:熟练地掌握提公因式法和公式法,是学好分组分解法的前提.
(18)分组分解法的.原则:分组后可以直接提出公因式,或者分组后可以直接运用公式.
(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解,合理选择分组方法是关键.
(20)对于一个一般形式的二次项系数为1的二次三项式x2+px+q,如果将常数项q分解成两个因数a,b,而a+b等于一次项系数P,那么它就可以分解因式.
即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab
=(x+a)(x+b)
这里的关键:掌握a,b与原多项式的常数项,一次项系数之间的关系,这个关系主要是:ab=q,a+b=p
(21)十字相乘法:借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法.
(22)十字相乘法分解因式:主要用于某些二次三项式的因式分解.
(23)对于一个一般形式的二次项的系数不是1的二次三项式ax2+bx+c,用十字相乘法分解因式的关键:找出四个因数,使a1a2=a,c1c2=c,a1c2+a2c1=b.
这四个因数的找出,要经过反复尝试,为了减少尝试的次数,使符号问题简单化,当二次项的系数为负数时,应先把负号提出,使二次项的系数为正数,将二次项系数分解因数时,只考虑分解为两个正数的积.
即ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2
=(a1x+c1)(a2x+c2)
(24)二次三项式ax2+bx+c在有理数范围内分解因式的充分必要条件是b2-4ac为一个有理数的平方.
(25)因式分解的一般步骤:
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解.
(26)从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式.
①如果是两项,应考虑用提公因式法,平方差公式,立方和或立方差公式来分解因式.
②如果是二次三项式,应考虑用提公因式法,完全平方公式,十字相乘法.
③如果是四项式或者大于四项式,应考虑提公因式法,分组分解法.
(27)因式分解要注意的几个问题:
①每个因式分解到不能再分为止.
②相同因式写成乘方的形式.
③因式分解的结果不要中括号.
④如果多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数为正数.
⑤因式分解的结果,如果是单项式乘以多项式,把单项式写在多项式的前面.
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