五年级奥数题及答案-抽屉原理问题

编者小语：奥数题往往从结构到解法都充满着神奇的魅力，易于小学生尝到探索的乐趣，而在探索解题方法的过程中，小学生又亲身体验到数学思想的博大精深和数学方法的创造力，因此对学习数学产生进一步的向往。

例7 证明：在任取的5个自然数中，必有3个数，它们的和是3的倍数。

分析与解答 按照被3除所得的余数，把全体自然数分成3个剩余类，即构成3个抽屉.如果任选的5个自然数中，至少有3个数在同一个抽屉，那么这3个数除以3得到相同的余数r，所以它们的和一定是3的倍数(3r被3整除)。

如果每个抽屉至多有2个选定的数，那么5个数在3个抽屉中的分配必为1个，2个，2个，即3个抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取1个数，那么这3个数除以3得到的.余数分别为0、1、2.因此，它们的和也一定能被3整除(0+1+2被3整除)。

例8 某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

分析与解答 共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手;最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的不同情况(0，1，2，…，n-1)数都是n，还无法用抽屉原理。

然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次;如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。