数学中如何证明向量共面
共面向量定理是数学学科的基本定理之一,那它该怎么被证明呢?证明的过程是怎样的呢?下面就是本站小编给大家整理的证明向量共面内容,希望大家喜欢。
证明向量共面的方法一已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线
但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?
写详细点怎么做谢谢了~明白后加分!!!
我假定你的O-A表示向量OA。
由O的任意性,取一个不在ABCD所在平面的O,这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD,那么b+c+d必定等于1。
(证明:设O在该平面上的投影为P,那么对平面上任何一点X,OX=OP+PX,然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。)
你给的右端向量都反向,所以2x+3y+4z=-1。
充分不必要条件。
如果有三点共线,则第四点一定与这三点共面,因为线和直线外一点可以确定一个平面,如果第四点在这条线上,则四点共线,也一定是共面的。
而有四点共面,不一定就其中三点共线,比如四边形的四个顶点共面,但这四个顶点中没有三个是共线的。
“三点共线”可以推出“四点共面”,但“四点共面”不能推出“三点共线”。因此是充分不必要条件
任取3个点,如果这三点共线,那么四点共面;如果这三点不共线,那么它们确定一个平面,考虑第四点到这个平面的距离。方法二A、B、C、D四点共面的充要条件为向量AB、AC、AD的混合积(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四点不共面的充要条件为向量AB、AC、AD线性无关。
证明向量共面的方法二已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线
,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?
写详细点怎么做谢谢了我假定你的O-A表示向量OA。
由O的.任意性,取一个不在ABCD所在平面的O,这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD,那么b+c+d必定等于1。
(证明:设O在该平面上的投影为P,那么对平面上任何一点X,OX=OP+PX,然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。)
你给的右端向量都反向,所以2x+3y+4z=-1。
4Xa-Yb+Yb-Zc+ Zc-Xa=0
∴ Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)
由共面判定定理知它们共面。
简单的说一个向量能够用另外两个向量表示,它们就共面。
证明向量共面的方法三1.若向量e1、e2、e3共面,
(i)其中至少有两个不共线,不妨设e1,e2不共线,则e1,e2线性无关,e3可用e1,e2线性表示,即存在实数λ,μ,使得e3=λe1+μe2,于是
λe1+μe2-e3=0.
即存在三个不全为零的实数λ,μ,υ=-1,使得
λe1+μe2+υe3=0”。
(ii)若e1,e2,e3都共线,则其中至少有一个不为0,不妨设e1≠0,则存在实数λ,使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三个不全为零的实数λ,μ=-1,υ=0,使得λe1+μe2+υe3=0”.
2.存在三个不全为零的实数λ,μ,υ,使得λe1+μe2+υe3=0”,不妨设λ≠0,
就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,
于是e1,e2,e3共面。
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