2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷及答案

高考即将来临，多做一些高考数学模拟试卷可以熟悉知识点和积累知识点，以下是本站小编为你整理的2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷，希望能帮到你。

　　2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷题目

一、填空题(本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[

1.函数 的定义域是 .

2.若关于 的方程组 有无数多组解，则实数 _________.

3.若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的最大值为 .

4.已知复数 ， (其中i为虚数单位)，且 是实数，则实数t等于 　 .

5.若函数 (a>0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是 　 .

6.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为 .

7. 已知圆 和两点 ，若圆 上至少存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是 　 .

8. 已知向量 ， ，如果 ∥ ，那么 的值为 .

9.若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是

.

10.若将函数 的图像向左平移 个单位后，所得

图像对应的函数为偶函数，则 的最小值是 　 .

11.三棱锥 满足： ， ， ， ，

则该三棱锥的体积V的取值范围是 　 .

12.对于数列 ，若存在正整数 ，对于任意正整数 都有 成立，则称数列 是以 为

周期的周期数列.设 ，对任意正整数n都有 若数列

是以5为周期的周期数列，则 的值可以是 .(只要求填写满足条件的一个m值即可)

二、选择题(本大题共有4题，满分20分.)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13.下列函数中，周期为π，且在 上为减函数的是 ( )

A.y = sin(2x+ B.y = cos(2x+

C.y = sin(x+ D.y = cos(x+

14.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的

表面积是 ( )

A. 　　 B.

C. 　　 　 D.

15.已知双曲线 的右焦点到左顶点的距离等

于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 ( )

A. B.

C. D.

16.如图所示， ，圆 与 分别相切于点 ，

，点 是圆 及其内部任意一点，且

，则 的取值范围是 (　 )

A. 　　　 　 B.

C. 　 　　 D.

三、解答题(本大题共有5题，满分76分.)解答下列各题必须在答题纸相应编号的`规定区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，在直棱柱 中， ， ， 分别是 的中点.

(1)求证： ;

(2)求 与平面 所成角的大小及点 到平面 的距离.

18.(本题满分14分)本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分.

在 中，角 的对边分别为 ，且 成等差数列.

(1)求角 的大小;

(2)若 ， ，求 的值.

19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.

如果一条信息有n 种可能的情形(各种情形之间互不相容)，且这些情形发生的概率分别为 ，则称 (其中 )为该条信息的信息熵.已知 .

(1)若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小;

(2)某次比赛共有n位选手(分别记为 )参加，若当 时，选手 获得冠军的概率为 ，求“谁获得冠军”的信息熵 关于n的表达式.

20.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

设椭圆M: 的左顶点为 、中心为 ，若椭圆M过点 ，且 .

(1)求椭圆M的方程;

(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值;

(3)过点 作两条斜率分别为 的直线交椭圆M于 两点，且 ，求证：直线 恒过一个定点.

21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

若函数 满足:对于任意正数 ，都有 ，且 ，则称函数 为“L函数”.

(1)试判断函数 与 是否是“L函数”;

(2)若函数 为“L函数”，求实数a的取值范围;

(3)若函数 为“L函数”，且 ，求证：对任意 ，都有

　　2018届上海市黄浦区高三数学模拟试卷答案

一、填空题：(1~6题每题4分;7~12题每题5分)

1. ;　　2. ;　　3. ;　　4. ;　 　5. ;　 　6. ;

7. ;　8. ;　9. ; 10. ;　11. ; 12. (或 ，或 ).

二、选择题：(每题5分)

13.A 14.D 15. C 16. B

三、解答题：(共76分)

17.解：(1)以A为坐标原点、AB为x轴、 为y轴、

为z轴建立如图的空间直角坐标系.

由题意可知 ，

故 ，…………………4分

由 ，

可知 ，即 . …………………6分

(2)设 是平面 的一个法向量，

又 ，

故由 解得 故 . …………9分

设 与平面 所成角为 ，则 ，…………12分

所以 与平面 所成角为 ，

点 到平面 的距离为 . …………………14分

18.解：(1)由 成等差数列，

可得 ， 　 …………………2分

故 ，所以 ， ………4分

又 ，所以 ，故 ，

又由 ，可知 ，故 ，所以 .　 …………………6分

(另法：利用 求解)

(2)在△ABC中，由余弦定理得 ，　 …………………8分

即 ，故 ，又 ，故 ，………………10分

所以

…………………12分

，

故 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………14分

19.解：(1)由 ，可得 ，解之得 .　 …………………2分

由32种情形等可能，故 ，　　　　　 　……………………4分

所以 ，

答：“谁被选中”的信息熵为 . ……………………6分

(2) 获得冠军的概率为 ，……………8分

当 时， ，又 ，

故 ， ……………………11分

，

以上两式相减，可得 ，故 ，

答：“谁获得冠军”的信息熵为 . 　　　 ……………………14分

20.解：(1)由 ，可知 ，

又 点坐标为 故 ，可得 ，　……………………………2分

因为椭圆M过 点，故 ，可得 ，

所以椭圆M的方程为 .　　　　　　　　　 ……………………………4分

(2)AP的方程为 ，即 ，

由于 是椭圆M上的点，故可设 ， ……………………………6分

所以 ……………………………8分

当 ，即 时， 取最大值.

故 的最大值为 . ……………………………10分

法二：由图形可知，若 取得最大值，则椭圆在点 处的切线 必平行于 ，且在直线 的下方. …………………………6分

设 方程为 ，代入椭圆M方程可得 ，

由 ，可得 ，又 ，故 . …………………………8分

所以 的最大值 . 　　　……………………………10分

(3)直线 方程为 ，代入 ，可得

， ，

又 故 ， ，　　　 ………………12分

同理可得 ， ，又 且 ，可得 且 ，

所以 ， ， ，

直线 的方程为 ， ………………14分

令 ，可得 .

故直线 过定点 .　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………16分

(法二)若 垂直于 轴，则 ，

此时 与题设矛盾.

若 不垂直于 轴，可设 的方程为 ，将其代入 ，

可得 ，可得 ，………12分

又 ，

可得 ， ………………14分

故 ，

可得 或 ，又 不过 点，即 ，故 .

所以 的方程为 ，故直线 过定点 .　　　　 ………………16分

21.解：(1)对于函数 ，当 时， ，

又 ，所以 ，

故 是“L函数”. ………………2分

对于函数 ，当 时， ，

故 不是“L函数”. ………………4分

(2)当 时，由 是“L函数”，

可知 ，即 对一切正数 恒成立，

又 ，可得 对一切正数 恒成立，所以 . ………………6分

由 ，可得 ，

故 ，又 ，故 ，

由 对一切正数 恒成立，可得 ，即 . ………………9分

综上可知，a的取值范围是 . ………………………10分

(3)由函数 为“L函数”， 可知对于任意正数 ，

都有 ，且 ，

令 ，可知 ，即 ， ………………………12分

故对于正整数k与正数 ，都有

， ………………………………14分

对任意 ，可得 ，又 ，

所以 ，…………………16分

同理 ，

故 . ……………………………18分