高难度的奥数练习题学特长
如何在充满激烈竞争的竞赛中取得好的成绩,家长和同学最为关注的还是学习方法和复习资料。为大家提供了高难度的奥数练习题,希望能够真正的帮助到大家。
高难度的奥数练习题:学特长
问题:小明所在的班级要选出4名中队长,要求每位同学在选票上写上名字,也可以写自己的名字。结果全班的每位同学都在自己的选票上写了4个互不相同的名字。当小明把同学们的选票收集后发现一个有趣的现象:就是任意取出2张选票,一定有且只有一个人的名字同时出现在2张选票上。请问:小明所在的班级共有多少人?
总体逻辑思路:首先,假设题目所说的`情况存在。然后,得出班级人数。最后,构造出一个例子,说明确实存在这种情况。
我们先来证明这个班每个人都恰好都被选了4次。
思路简介:我们首先用反证法证明没有人被选了4次以上。由于平均每人被选了4次,既然没有人被选了4次以上,肯定也不存在被选了4次以下的人。所以,可以得到每个人恰好被选了4次。
首先证明没有人被选了4次以上,我们用反证法。
假设有一个人被选了4次以上(由于很容易证明这个班的人数肯定不少于7人,所以我们可以假设有一个人被选了4次以上),我们设这个人为A同学。接下来我们来证明这种情况不存在。
把所有选择A同学的选票集中到一起,有5张或5张以上。方便起见,我们把这些选票编号,记为A1选票,A2选票,A3选票,A4选票,A5选票,…。意思就是选择A同学的第1张选票,选择A同学的第2张选票,…。
这些选票都选择了A同学。由于任意2张选票有且只有1个人相同,所以这些选票上除了A同学外,其他都是不同的人。
我们还可以证明,这些并不是全部的选票,不是太难,就不证明了。
既然这些(所有选A同学的选票)不是全部的选票,我们再拿一张没有选择A同学的选票。方便起见,称之为B选票。
根据任意2张选票有且只有1个人相同,A1选票上必有一个人和B选票上的一个人是相同的,而且这个人不是A同学。
同样道理,第A2、A3、A4、A5、…上也必有一个人和B选票上的一个人是相同的,而且这个人不是A同学。
由于B选票上只有4个不同的人,而A1、A2、…,的数量大于4.所以,A1、A2、A3、…选票中至少有2张选票,除了A同学外还有一个共同的候选人。根据任意2张选票有且只有1个人相同,我们知道这是不可以的。
所以,没有人被选了4次以上。
由于平均每人被选4次,既然没有人被选4次以上,当然也就不可能有人被选4次以下。
所以,每个人恰好被选了4次!
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