初三数学数据的分析

5 第29讲 数据的分析

考标要求考查角度

1.会求一组数据的平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差，能理解它们在实际问题中反映的意义，而且会运用样本估计总体的思想方法解决实际应用问题．

2．了解样本方差、总体方差的意义．会根据同类问题的两组样本数据的方差比较两组样本数据的波动情况. 本讲中考主要考查算术平均数、加权平均数、中位数、众数、极差和方差的计算，结合实际问题来描述一组数据的集中趋势和离散程度．题型以选择题、填空题为主，还常与统计图、概率等知识进行综合考查.

知识梳理

一、平均数、众数与中位数

1．平均数

(1)平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，我们把1n(x1＋x2＋…＋xn)叫做这组数据的算术平均数，简称__________，记为x.

(2)加权平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次，…，x出现f次(其中f1＋f2＋…＋f＝n)，那么x＝1n(x1f1＋x2f2＋…＋xf)叫做x1，x2，…，x这个数的加权平均数，其中f1，f2，…，f分别叫做x1，x2，…，x的权，f1＋f2＋f3＋…＋f＝n.

2．众数

在一组数据中，出现次数_______ ___的数叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时有几个)．

3．中位数

将一组数据按__________依次排列，把处在__________的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

二、数据的波动

1．极差

一组数据中__________与__________的差，叫做这组数据的极差．

2．方差

在一组数据x1，x2，x3，…，xn中，各数据与它们的平均数x的差的__________的平均数叫做这组数据的方差，即s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．

3．极差、方差和标准差都可以衡量一组数据的波动大小；方差(或标准差)越大，说明这组数据波动越大．

自主测试

1．(20xx上海)数据5,7,5,8,6,13,5的中位数是( )

A．5 B．6 C．7 D．8

2．“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30 g，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“＋”，不足标准重量的记作“－”，他记录的结果是＋0.5，－0.5，0，－0.5，－0.5，＋1，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是( )

A．0,1.5 B．29.5,1 C．30,1.5 D．30.5,0

3．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是( )

A．s2甲＜s2乙 B．s2甲＞s2乙C．s2甲＝s2乙 D．不能确定

4．(20xx浙江宁波)我市某一周每天的最高气温统计如下：27,28,29 ,29,30,29,28(单位：℃)，则这组数据的极差与众数分别为( )

A．2,28 B．3,29 C．2,27 D．3,28

考点一、平均数、众数、中位数

【例1】 (1)某校艺术节演出中，5位评委给某个节目打分如下：9分， 9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，则该节目的平均得 分是__________分．

(2)某文具商店共有单价分别为10元、15元和20元的3种文具盒出售，该商店统计了20xx年3月份这三种文具盒的销售情况，并绘制统计图如下：

文具店20xx年3月份3种文具盒销售情况扇形统计图

3种文具盒销售情况条形统计图

①请把条形统计图补充完整；

②小亮认为该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格为13(10＋15＋20)＝15元，你认为小亮的计算方法正确吗？如果不正确，请计算总的平均销售价格．

分析：(1)直接利用算术平均数的求法求；

(2)该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格是求加权平均数．

解：(1)9 (2)①

3种文具盒销售情况条形统计图

②不正确，平均销售价格为(10×150＋15×360＋20×90)÷(150＋360＋90)＝8 700÷60 0＝14.5(元)．

方法总结 平均数、众数和中位数是以不同角度反映一组数据的集中趋势．众数是一组数据中出现次数最多的，而中位数是一组数据从小到大(或从大到小)排列处于中间位置的一个数或两个数的平均数，平均数则是所有数的和与个数的商，求解时一定要明确其求法．

触类旁通1我市某一周的`最高气温统计如下表：

最高气温/℃25262728

天数1123

则这组数据的中位数与众数分别是( )

A．27,2 8 B．27.5,28C．28,27 D．26.5,27

考点二、极差与方差

【例2】 (1)(20xx湖南株洲)在体育达标测试中，某校初三5班第一小组六名同学一分钟跳绳成绩如下：93,138,98,152,138,183，则这组数据的极差是( )

A．138 B．183 C．90 D．93

(2)(20xx湖南怀化)为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9,15.8，则下列说法正确的是( )

A．甲秧苗出苗更整齐 B．乙秧苗出苗更整齐

C．甲、乙出苗一样整齐 D．无法确定

解析：(1)根据极差的概念求；(2)比较甲、乙方差的大小，方差越小，出苗越整齐．

答案：(1)C (2)A

方法总结 极差和方差都是表示该组数据的波动大小的数据，从统计的角度看，在平均成绩相同的情况下看成绩的稳定性就是比较方差的大小．

触类旁通2 一次学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6分)为合格，成绩达到9分为优秀．这次测验中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图．

(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：

平均分方差中位数合格率优秀率

甲组%16.7%

乙组1.383.3%8.3%

(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出三条支持乙组学生观点的理由．

1．(20xx湖南湘潭)已知一组数据3，a,4,5的众数为4，则这组数据的平均数为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

2．(20xx湖南娄底)一组 数据为：2,2,3,4,5,5,5,6，则下列说法正确的是( )

A．这组数据的众数是2 B．这组数据的平均数是3

C．这组数据的极差是4 D．这组数据的中位数是5

3．(20xx湖南常德)已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差s2甲＝1.327 5，乙种棉花的纤维长度的方差s2乙＝1.877 5，则甲、乙两种棉花质量较好的是__________．

4．(20xx湖南张家界)一组数据是4，x,5,10,11共有五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是__________．

1．北京市今年6月某日部分区县的最高气温如下表：

区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山

最高气温/℃32323032303229323032

则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是( )

A．32,32 B．32,30 C．30,32 D．32,31

2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )

A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差

3．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况如图所示：

对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )

A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数

C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数

D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

4．某居民小区开展节约用电活动，对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计，4月份与3月份相比，节电情况如下表：

节电量/千瓦时20304050

户数10403020

则4月份这100户节电量的平均数、中位数、众数分别是( )

A．35,35,30 B．25,30,20 C．36,35,30 D．36,30,30

5．一个样本为1,3,2,2，a，b，C．已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为__________．

6．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为s2甲＝3.6，s2乙＝15.8，则_ ____ _种小麦的长势比较整齐．

7．某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人，投票结果统计如图(1)所示：

(1) (2)

其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项成绩如下表所示：

测试项目测试成绩/分

甲乙丙

笔试929095

面试859580

图(2)是某同学根据上表绘制的一个不完整的条形图．

请你根据以上信息解答下列问题：

(1)补全图；

(2)请计算每名候选人的得票数；

(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？

参考答案

【知识梳理】

一、1.(1)平均数 2.最多 3．大小 最中间

二、1.最大值 最小值 2.平方

导学必备知识

自主测试

1．B 因为这组数据从小到大排列为5,5,5,6,7,8,13，第四个数6为中位数．

2．C

3．A 根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小．

∵甲的成绩比乙的成绩稳定，∴有s2甲＜s2乙．故选A.

4．B 因为这组数中，最大的数是30，最小的数是27，

所以极差为30－27＝3.

29出现了3次，出现的次数最多，

所以众数是29.

探究考点方法

触类旁通1.A 由统计表可知，温度为25 ℃有1天，温度为26 ℃有1天，温度为27 ℃有2天，温度为28 ℃有3天．

触类旁通2.分析：评价成绩的好坏，不能只看某一方面，应多方面考虑．

解：(1)甲组：中位数7；乙组：平均分7，中位数7；

(2) (答案不唯一)①乙组学生的平均分高于甲组学生的平均分；②乙组学生的方差低于甲组学生的方差；③乙组学生成绩不低于7分的人数比甲组多．

品鉴经典考题

1．B ∵众数为4，∴a＝4，∴x＝3＋4×2＋54＝4.

2．C 这组数据中，5出现的次数最多，所以众数是5，故A不正确；2×2＋3＋4＋5×3＋68＝4，故B不正确；6－2＝4，这组数据的极差是4，C正确；数据按从大到小排列后，处在中间位置的两个数是4和5，所以中位数为4＋52＝4.5，故D不正确．

3．甲

4．5 4＋x＋5＋10＋115＝7，解得x＝5，∴这组数据的众数是5.

研习预测试题

1．A 2 3.D 4

5.87 ∵这个样本的众数为3，

∴a，b，c中至少有两个为3，设a＝b＝3，

∴1＋3×3＋2×2＋c7＝2，∴c＝0.

∴s2＝17×[(1－2)2＋(3－2)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＋(3－2)2＋(0－2)2]＝87.

6．甲

7．解：(1)

(2)甲的票数：200×34%＝68(票)，乙的票数：200×30%＝60(票)，丙的票数：200×28%＝56(票)．

(3)甲的平均成绩：x1＝68×2＋92×5＋85×32＋5＋3＝85.1，

乙的平均成绩：x2＝60×2＋90×5＋95×32＋5＋3＝85.5，

丙的平均成绩：x3＝56×2＋95×5＋80×32＋5＋3＝82.7.

∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．