昌平区高二上学期理科数学期末考试题及答案

为了帮助大家在期末考试中取得理想的成绩，本站小编为大家带来了一份昌平区高二上学期理科数学的期末考试题，文末有答案，希望能对大家有帮助，更多内容欢迎关注应届毕业生网!

(满分150分，考试时间 120分钟)

考生须知：

1. 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2. 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3. 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4. 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

5. 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)

(1)抛物线 的焦点到准线的距离为

(A) (C) (C) (D)

(2)过点 且倾斜角为 的直线方程为

(A) ( B)

( C) ( D)

(3)若命题 是真命题，命题 是假命题，则下列命题一定是真命题的是

(A) (B) (C) (D)

(4)已知平面 和直线 ，若 ，则“ ”是“ ”的

(A)充分而不必要条件 ( B)必要而不充分条件

( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)如图，在正方体 中，点 分别是面对角线 的中点，若 则

(A) ( B)

( C) ( D)

(6)已知双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为

(A) ( B) ( C) ( D)

(7)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

(A)

( B)

(8)从点 向圆 作切线，当切线长最短时 的值为

(A) (B) (C) (D)

(9)已知点 是椭圆 的焦点，点 在椭圆 上且满足 ，

则 的面积为

(A) (B) (C) (D)

(10) 如图，在棱长为1的正方体 中，点 是左侧面 上的一个动点，满足 ，则 与 的'夹角的最大值为

(A)

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

(11)若命题 ，则 .

(12) 已知 ， ，则 ______________.

(13)若直线 与直线 平行，则 的值为____ .

(14)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设 ，

， 是 的中点，则 所成角的

大小为____________， ___________.

(15)已知 是抛物线 上的一点，过点 向其准线作垂线交于点 ，定点 ，则

的最小值为_________;此时点 的坐标为_________ .

(16)已知直线 .若存在实数 ，使直线 与曲线 交于 两点，

且 ，则称曲线 具有性质 .给定下列三条曲线方程：

① ; ② ; ③ .

其中，具有性质 的曲线的序号是________________ .

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

(17)(本小题满分14分)

已知圆 .

(I)求过点 的圆 的切线方程;

(II)若直线 与圆 相交于 两点，且弦 的长为 ，求 的值.

(18)(本小题满分14分)

在直平行六面体 中，底面 是菱形， ， ， .

(I)求证： ;

(II)求证： ;

(III)求三棱锥 的体积.

(19)(本小题满分14分)

已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .

(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;

(Ⅱ)如果过点 的直线与椭圆交于 两点( 点与 点不重合)，求证： 为

直角三角形.

(20)(本小题满分14分)

如图，在四棱锥 中， ，底面 为直角梯形， ，过 的平面分别交 于 两点.

(I)求证： ;

(II)若 分别为 的中点，

①求证： ;

②求二面角 的余弦值.

(21)(本小题满分14分)

抛物线 与直线 相切， 是抛物线上两个动点， 为抛物线的焦点，且 .

(I) 求 的值;

(II) 线段 的垂直平分线 与 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由;

(III)求直线 的斜率的取值范围.

数学试卷参考答案及评分标准 (理科)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B A D B D A A D C C

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

(11) (12) (13) 或

(14) ; (15) ; (16)②③

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

(17)(本小题满分14分)

解：(I)圆 的方程可化为 ，圆心 ，半径是 . …2分

①当切线斜率存在时，设切线方程为 ，即 . ……3分

因为 ，

所以 . …………6分

②当切线斜率不存在时，直线方程为 ，与圆 相切. ……… 7分

所以过点 的圆 的切线方程为 或 . ………8分

(II)因为弦 的长为 ，

所以点 到直线 的距离为 . ……10分

即 . …………12分

所以 . …………14分

(18)(本小题满分14分)

证明：(I) 如图，在直平行六面体 中，

设 ，连接 .

因为 ，

所以四边形 是平行四边形.

所以 . ……1分

因为底面 是菱形，

所以 .

所以四边形 是平行四边形.

所以 . ……2分

因为 ，

所以 . ……4分

(II)因为 ， ，

所以 . ……5分

因为底面 是棱形，

所以 . ……6分

因为 ，

所以 . ……7分

因为 ， ……8分

所以 . ……9分

(III)由题意可知， ，

所以 为三棱锥 的高. ……10分

因为 .

所以三棱锥 的体积为 . ……14分

(19)(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)因为椭圆经过点 ， ，

所以 . ……1分

由 ，解得 . ……3分

所以椭圆 的标准方程为 . ……4分

(Ⅱ)若过点 的直线 的斜率不存在，此时 两点中有一个点与 点重合，不满足题目条件. ……5分

若过点 的直线 的斜率存在，设其斜率为 ，则 的方程为 ，

由 可得 . ……7分

设 ，则

， ……9分

所以 ，

. ……11分

因为 ，

所以

所以 , 为直角三角形得证. ……14分

(20)(本小题满分14分)

证明：(I)因为底面 为直角梯形，

所以 .

因为

所以 . ……2分

因为 ，

所以 . ……4分

(II)①因为 分别为 的中点， ，

所以 . ……5分

因为

所以 .

因为 ，

所以 .

因为 ，

所以 .

所以 . ……7分

因为 ，

所以

因为 ，

所以 . ……9分

②如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 . ……10分

则 . ……11分

由(II)可知， ，

所以 的法向量为 . ……12分

设平面 的法向量为

因为 ， ,

所以 .即 .

令 ，则 ， .

所以

所以 .

所以二面角 的余弦值为 . ……14分

(21)(本小题满分14分)

解:(I)因为抛物线 与直线 相切，

所以由 得： 有两个相等实根. …2分

即 得： 为所求. ……4分

(II)法一：

抛物线 的准线 .且 ，

所以由定义得 ，则 . ………5分

设直线 的垂直平分线 与 轴的交点 .

由 在 的垂直平分线上，从而 ………6分

即 .

所以 .

即 ………8分

因为 ，所以 .

又因为 ，所以 ，

所以点 的坐标为 .

即直线 的垂直平分线 与 轴的交点为定点 . ………10分

法二：

由 可知直线 的斜率存在，

设直线 的方程为 .

由 可得 . ………5分

所以 . ………6分

因为抛物线 的准线 .且 ，

所以由定义得 ，则 . ………7分

所以 .

设线段 的中点为 .

则 .

所以 . ………8分

所以线段 的垂直平分线的方程为 . ………9分

令 ，可得 .

即直线 的垂直平分线 与 轴的交点为定点 . ………10分

(III)法一：

设直线 的斜率为 ，由(II)可设直线 方程为 .

设 的中点 ，由 .可得 .

因为直线 过点 ，

所以 . ………11分

又因为点 在抛物线 的内部，

所以 . …12分

即 ，则 .

因为 ，则 . …13分

所以 的取值范围为 . ………14分

法二：

设直线 的斜率为 ，则 .

由(II)可知 .

因为 ，即 ， …11分

所以 .

所以 .

即 .

所以 . …12分

因为 ，则 . …13分

所以 的取值范围为 . ………14分