初二上册数学的期中知识
直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数,则两边之和是短直角边的平方。
设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a^2+b^2=c^2,这是构成直角三角形三边的充分必要条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2,求出正整数解。
例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n^2-1,b=2n,c=n^2+1(n>1),求证:∠C=90°。
此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:(6、8、10),(8、15、17),(10、24、26)等。
再来看下面这些勾股数:(3、4、5),(5、12、13),(7、24、25)、(9、40、41),(11、60、61)…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n^2+2n、2n^2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。
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