高中数学弦切角定理的求证方法
弦切角是几何图形,但它也是有定理证明的,具体的定理是怎样的呢?下面就是本站小编给大家整理的弦切角定理证明内容,希望大家喜欢。
弦切角定理之弦切角定义顶点在圆上,一边和圆相交,另 一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)
如右图所示,直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB,∠TCA,∠PCA,∠PCB都为弦切角。
编辑本段弦切角定理
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的'一半.弦切角定理证明:
证明一:设圆心为O,连接OC,OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)
∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠TCB=∠CAB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)
证明已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证弦切角定理证明:分三种情况:
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径,AB切⊙O于A,
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 (2)圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
若在优弧m所对的劣弧上有一点E
那么,连接EC、ED、EA
则有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ (弦切角定理)
(3)圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
弦切角定理推论内容若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等
应用举例
例1:如图,在Rt△ABC中,∠C=90,以AB为弦的⊙O与AC相切于点A,∠CBA=60° , AB=a 求BC长.
解:连结OA,OB.
∵在Rt△ABC中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2:如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.
求证:EF∥BC.
证明:连DF.
AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3:如图,ΔABC内接于⊙O,AB是⊙O直径,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C,
求证:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.
证明:∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B,
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B,
∴∠MCA=∠ACD,
即AC平分∠MCD,
同理:BC平分∠NCD.
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