用分析法证明 已知
要证明(b+c-a)/a+(a+c-b)/b+(a+b-c)/c>3
即是证明(b+c)/a-1+(a+c)/b-1+(a+b)/c-1>3
b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6
因为a,b,c>0,且不全等,所以b/a+a/b≥2
a/c+c/a≥2
b/c+c/b≥2
上式相加的时候,等号不能取到,因为不全等。故b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6
命题获证
a²-b²=tan²α+2tanαsinα+sin²α-tan²α+2tanαsinα-sin²α
=4tanαsinα
左边=16tan²αsin²α
=16tan²α(1-cos²α)
=16tan²α-16tan²αcos²α
=16tan²α-16sin²α/cos²α*cos²α
=16tan²α-16sin²α
右边=16(tan²α-sin²α)
所以左边=右边
命题得证
要证|(a+b)/(1+ab)|<1
就是要证|a+b|<|1+ab|
就是要证(a+b)^2<(1+ab)^2
就是要证a^2+2ab^2+b^2<1+a^2b^2+2ab
就是要证a^2b^2-a^2-b^2+1>0
就是要证(a^2-1)(b^2-1)>0
而已知|a|<1 |b|<1
所以(a^2-1)(b^2-1)>0成立
|(a+b)/(1+ab)|<1成立
左边通分整理
即证|(b-a)(b+a)/(a²+1)(b²+1)|<|a-b|
把|a-b|约分
|(b+a)/(a²+1)(b²+1)|<1
即证|a+b|<(a²+1)(b²+1)
显然a和b同号时|a+b|较大
所以不妨设a>0,b>0
a+b a²-a+1/4=(a-1/2)²
b²-b+1/4=(b-1/2)²
所以a²-a+b²-b+1>0
a²b²>=0
所以a>0,b>0时
a+b 若都小于0,绝对值一样
把以上倒推回去即可
证明:由a>0,b>0,ln x是增函数,要证:a^a b^b>= a^b b^a,
即证:aln a + bln b>= aln b + bln a
即证:a(ln a - ln b)+b(ln b-ln a)>=0
即证:(a-b)(ln a -ln b)>=0.
由于,ln x是增函数,因此,a-b与lna -lnb符号相同。
则(a-b)(ln a - ln b)>=0成立。
于是:原不等式成立。
【扩展阅读篇】
用文字记载一个星期来的自己的思想、学习、生活情况的文字记录。
它有别于“流水账”,日记,在于流水账是有什么就记录什么,不需要作任何修饰和认识的升华,而且内容不限,一周之内可以记录您每一天的任何事情。而周记就是:每周一次,并且对自己的生活学习思想认识有一定的升华。 周记是对个人和某个团体一周的所见、所闻、所思、所感、所惑、所获的记录。还可以写一件在这一周里让你有所感触的事。
编辑本段作用
从学生角度来说,周记用来了解学生的思想动态,学习情况,答疑解惑,并通过周记的形式而置一些跟教育主题有关的主题作文,提高学生的认识,从而在全班范围内形成正确、积极、健康的舆论环境,并为主题班会准备材料,提高同学们参与的积极性。
从老师的角度来说,周记用来回顾一周的得失,提出经验教训,让班主任对班上情况有一个更加详细和全面的了解,提高工作的针对性和准确性。老师除了用来了解同学一周发生的事情外,还用来锻炼同学的文章水平,使同学文章水平得以提高。
编辑本段格式
周记的题目(写作范围:读后感;见闻;趣事;数学周记......)
1.记事
2.自评(优,缺)
3.解决措施
4.下周计划
5.自己的所见所闻所感
其实周记并没有一种标准的格式,只需要同学们每周把自己的所看到的、听到的、想到的、经历的东西记下来,形成的文字片断或一篇文章,一周写一则就可以了。
编辑本段怎么写周记
不少同学又开始问了,周记怎么写?小学初中周记开头怎么写?
如果是一个片断,将事情写清、将要表达的意思表达完整就行了,当然,时间充裕,你可以将前因后果,你的想法补充完整,形成一篇文章。不论无论,周记没有什么特殊规定的`格式,跟我们平时说话写文章一样,要求就是条理清楚地说清一件事、一个想法。
周记的关键是要真,真事、真情、真想,不要虚构。用力表达你正经历的、正思考的事,对提高你的写作能力是有帮助的,不要当作负担,也不要觉得有任何压力,因为真的,只要排列一下就行了。
同时,周记交给老师后,也可让老师来了解你的生活、你的想法,或许对你有帮助。
去年也谈过周记怎么写,转到下面,大家再看看。
老师布置了周记作业,怎么写呢?许多同学发了愁。
其实周记也好,日记也好,都是要写一段时间内印象最深的事。周记就是本星期内的事。
回想一下这个星期发生了什么,在学习上有什么问题,班级里有什么新鲜事,和朋友老师间关系如何,这些都可以写,和日记相比周记可以写的内容更多了,需要突出一两个重点。
如果大脑里立刻就想起一二件事情,记忆深刻,那么恭喜,你就有材料了,将它们的前因后果,事情经过,个人感想写清楚吧。
有人会问:不好意思,一想到过去的几天,我印象里只记得吃了一次大餐,或者只记得被老师骂了一顿,或者跟同学闹别扭心里不爽,这些都没有重要意义,怎么能写呢?告诉你,既然你想到了,就说明是值得写的。有意义的事情,不一定非得是意义重大,思想崇高,自己的生活琐事,也是值得一写的,只要你写出你的感受。我们每天的日子不都是这些细小的沙子一样的事情组成的吗?这些沙子,串起了我们的欢笑,串起了我们的忧愁,串起了我们的无聊,引领着我们一天天,不知不觉地在长大。
更有一些同学说,这个周最无味,什么也没有发生,没什么可写的。再想想,再想想,多个心眼,仔细观察,你会找到的。
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