关于圆的方程教学设计

㈠课时目标

1．掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。

2．待定系数法之应用。

㈡问题导学

问题1：写出圆心为（a,b）,半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。 -2ax-2by+ =0

问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？

① ； ② 1

③ 0； ④ -2x+4y+4=0

⑤ -2x+4y+5=0; ⑥ -2x+4y+6=0

㈢教学过程（）

把圆的标准方程 展开得 -2ax-2by+ =0

可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

+Dx+Ey+F=0 ①

提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?

将①配方得 : ( ) ②

将方程 ②与圆的`标准方程对照.

⑴当 ＞0时, 方程 ②表示圆心在 (- ),半径为 的圆.

⑵当 =0时,方程①只表示一个点(- ).

⑶当 ＜0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形.

结论: 当 ＞0时, 方程 ①表示一个圆, 方程 ①叫做圆的一般方程.

圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:

⑴ 和 的系数相同,不等于0;

⑵没有xy这样的二次项.

以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件

求下列各圆的半径和圆心坐标.

⑴ -6x=0; ⑵ +2by=0(b≠0)

求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。

分析：用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。

已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。

分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。

反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。

㈣提炼总结

1．圆的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。

2．二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件是：A=C≠0且B=0。

3．圆的方程两种形式的选择：与圆心半径有直接关系时用标准式，无直接关系选一般式。

4．两圆的位置关系（相交、相离、相切、内含）。

㈤布置作业

1．直线l过点P（3，0）且与圆 -8x-2y+12=0截得的弦最短，则直线l的方程为：

2．求下列各圆的圆心、半径并画出它们的图形。

⑴ -2x-5=0； ⑵ +2x-4y-4=0

3．经过两圆 +6x-4=0和 +6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。