数学因式分解的方法

要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。小编为大家整理了数学公式：因式分解的方法，希望能够对大家有所帮助！

一、换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.

【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).

二、运用公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);

② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);

④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);

⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.

【例】a+4ab+4b =(a+2b)

三、分组分解法

把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。

【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).

四、拆项、补项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).

五、配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5).

六、十字相乘法

这种方法有两种情况：

① x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

② kx+mx+n型的式子的因式分解

如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d).

a b

×

c d

例如：因为

1 -3

×

7 2

且2-21=-19， 所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3).

多项式因式分解的一般步骤>>

① 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;

② 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

③ 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;

④ 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”

【例题】

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).

2.求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).

当y=0时，原式=x^5不等于33;当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

3.△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

解：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.∴(a-c)(a+2b+c)=0.∵a、b、c是△ABC的三条边，∴a+2b+c>0.∴a-c=0，即a=c，△ABC为等腰三角形。

4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).

七、应用因式定理

对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a.

【例】f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。(事实上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)

八、提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的.指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

【例】①-am+bm+cm=-m(a-b-c)②a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

九、求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .

【例】在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1.所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,…xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)… (x-xn).与方法九相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

【例】在分解x^3 +2x^2 -5x-6时，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 ，则x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).

十、双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。用一道例题来说明如何使用。

【例】分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.

解：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).

双十字相乘法其步骤为>>

① 先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);

② 先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6);

③ 再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

十一、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

十二、特殊值法

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

【例】在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 .

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

十三、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

【例】在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd，由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4.解得a=1，b=1，c=-2，d=-4.则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).

通过以上数学公式：因式分解的方法的学习后，想必同学们的学习会更进一步，如想了解更多请继续关注数学网。