小升初奥数百鸡问题解题指导及例题解析参考
《张丘建算经》中有这样一题:公鸡每只值5文钱,母鸡每只值3文钱,小鸡每3只值1文钱。现在用100文钱买100只鸡,公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?
这是中国古代算术中的一类典型问题百鸡问题,现代数学用不定方程求解,在小学阶段,不少同学都是用拼凑的办法来解决。这里介绍一种新方法,对小学生很适用。
1、求倍数。每只公鸡值5文钱,每只母鸡值3文钱,每只小鸡值1/3文钱。以最便宜的小鸡为标准,公鸡和母鸡的价格分别是小鸡的51/3=15倍和31/3=9倍。
2、算超额。假设100文钱全部买小鸡,可买1001/3=300只,超出实有三种鸡总数300-100=200只。
3、组等式。由于公鸡置换成小鸡可多出自身只数的15-1=14倍,母鸡置换成小鸡可多出自身只数的9-1=8倍。不难理解,上述假设中多出的200只即为公鸡和母鸡置换成小鸡后一共增加的只数,关系式为:公鸡只数14+母鸡只数8=200.
4、试结果。一般来说,不定方程的正整数解按关系式就可以观察得到。我们也可以先把等式变形,观察起来更为容易。方法是,在等式两边同时除以一个相同的数(0除外),得到等式右边为整数,左边只有一项系数是分数的形式。
在上式两边同时除以8,得到:公鸡只数7/4+母鸡只数=25.显然,公鸡只数必须是4的倍数。这样,从4起,依次用4的倍数去试算,可以得出三种情况:公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只;或公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只;或公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只。
下面再举一例来验证。
大数学家欧拉曾提出过这样的问题:一头猪321(312)银币,一只山羊131(113)银币,一只绵羊21(1/2)银币。有人用100个银币,买了100头牲畜。问:猪、山羊、绵羊各多少?
猪的单价是绵羊的3121/2=7倍,山羊的单价是绵羊的.1131/2=223倍,猪和山羊分别置换成绵羊,可多出自身只数的7-1=6倍和 223-1=123倍。如果100个银币都买绵羊,可买1001/2=200只,超出实有牲畜头数200-100=100头,这100头就是猪和山羊换成绵羊后多出的头数,列式:猪6+山羊123=100.显然,山羊的只数应是3的倍数,可以推算得到:猪15头,山羊6只,绵羊79只;或猪10 头,山羊24只,绵羊66只;或猪5头,山羊42只,绵羊53只。
上述解法,我们可以用代数知识来帮助分析。
在第一题里,设公鸡、母鸡、小鸡分别有X、Y、Z只,列出两个方程(方程组)X+Y+Z=100①5X+3Y+13Z=100②,将方程②乘以3,就是15X+9Y+Z=300,与方程①相减(消去Z),得出14X+8Y=200,两边同时除以8,就是74X+Y=25.显然X只能是4的倍数,依次试算,就能得到与前面相同的答案来。
这样一来,我们就会明白,所谓的新法,其实也并不新鲜,不过就是先用消元法把三元不定方程组演变成一个二元不定方程,然后有意识地将这个方程的某一个求知数的系数变成分数形式,便于观察这个未知数的值,其它未知数就不难推算了。
-
最新人教版五年级上册数学教学计划(精选11篇)
时间过得可真快,从来都不等人,教学工作者们又将迎来新的教学目标,写一份教学计划,为接下来的工作做准备吧!我敢肯定,大部分人都对这个教学计划很是头疼的,以下是小编精心整理的最新人教版五年级上册数学教学计划,欢迎大家借鉴与参考,希望对大家有所帮助。最五年级上册数...
-
2023高考成绩什么时候公布
高考是学生人生中第一次重大意义的考试,对于高考成绩的公布时间,考生们都非常关注,下面是小编收集并整理的2023高考成绩什么时候公布,欢迎大家收藏和阅读。2023高考成绩公布四川:预计6月23日公布各批次录取控制分数线和考生成绩。7月初至8月中旬开展招生录取工作。...
-
初中语文教学工作总结(通用13篇)
东流逝水,叶落纷纷,荏苒的时光就这样悄悄地,慢慢地消逝了,经过这段时间辛勤付出,我们一定积累了不少经验和教训,是不是需要好好写一份教学总结呢?在写之前,要先考虑好内容和形式喔,下面是小编为大家整理的初中语文教学工作总结,欢迎阅读与收藏。初中语文教学工作总结篇1...
-
搭船的鸟阅读教学设计
作为一名教职工,时常需要编写教学设计,借助教学设计可以更好地组织教学活动。那么教学设计应该怎么写才合适呢?以下是小编为大家整理的搭船的鸟阅读教学设计,仅供参考,希望能够帮助到大家。搭船的鸟阅读教学设计1一、教学目标:1、能正确认读本课生字,学写翠字。2、能...