数学思想方法聚焦

巧用整体思想求面积

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化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体思想，把一些看似彼此独立，实质上紧密相连的量作为整体进行处理，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.

例1 如图1，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都为 ，则图中阴影部分的面积之和为（ ）.

A． B． C． D．

析解：图中阴影部分为三个扇形，所以只要求出扇形的面积即可。但求扇形的面积必须知道圆心角的度数，如何求出这三个扇形的.圆心角的度数呢？显然是比较困难的，因为这是一个普通的三角形。我们观察到三个圆的半径相同，于是考虑将三个圆心角拼在一起，这样就可以利用三角形的内角和定理来解决了。三个扇形圆心角的度数之和为三个顶点处的三个周角的度数之和减去三角形的内角和，即 ，所以阴影部分的面积之和为： = ，

故选B.

例2 如图2所示，已知⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图形中四个扇形（阴影部分）的面积之和为（ ）.

A． B． C． D．

析解：利用整体思想的方法，四个扇形的圆心角之和为四边形ABCD的内角之和，又因为四个圆的半径都是1，所以阴影部分的面积之和为： 故选B.

例3 有六个等圆拼成甲、乙、丙三种形状摆放，使相邻两圆均互相外切，如图3所示的圆心的连线（虚线）分别构成正六边形、平行四边形和正三角形，将圆心连线外侧的6个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S、P、Q，则（ ）.

A．S>P>Q B．S>Q>P C．S>P且P=Q D．S=P=Q

分析：要想比较各个图形中阴影部分的面积，由于若逐一计算，显然有些麻烦，但考虑将六个扇形的圆心角合为一个整体，则可以利用多边形内角和定理，分别求得六个圆心角之和，这样就可以通过扇形面积公式从整体上求解。

解：因为图甲是六边形，即六个圆心角之和为 =720°；图乙六个圆心角之和为平行四边形的内角和加上两个半圆的圆心角，即 ；图丙中六个圆心角之和为三角形内角和加上三个半圆的圆心角，即： 。因此可见，这三个图形中的六个扇形的面积之和是相等的，即阴影部分的面积为： .故外侧扇形面积S=P=Q，应选D.

由以上三道例题我可以明显地感悟到：数学思想方法是数学的灵魂。因此，我们在日常的数学学习中解题时要细心观察给出的图形,探寻进行转化的途径和方法是解决此类问题的关键,而扇形的面积应用在其中的作用是不可低估的。