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罗素悖论的提出是基于这样的一个事例:设想有这样一群理发师,他们只给不给自己理发的人理发。假设其中一个理发师符合上述的条件,不给自己理发;然而按照要求,他必须要给自己理发。但是在这个集合中没有人会给自己理发。(如果这样的话,这个理发师必定是给别人理发还要给自己理发)
1901年,伯特兰·罗素悖论的发现打击了他其中的一个数学家同事。在19世纪后期,弗雷格尝试发展一个基本原理以便数学上能使用符号逻辑。他确立了形式表达式(如:x =2)和数学特性(如偶数)之间的联系。按照弗雷格理论的发展,我们能自由的用一个特性去定义更多更深远的特性。
1903年,发表在《数学原理》上的罗素悖论从根本上揭示了弗雷格这种集合系统的局限性。就现在而言,这种类型的集合系统能很好的用俗称集的结构式来描述。例如,我们可以用 x代表整数,通过n来表示并且n大于3小于7,来表示4,5,6这样一个集合。这种集合的书写形势就是:x={n:n是整数,3<n<7}。集合中的对象并不一定是数字。我们也可让y={x:x是美国的一个男性居民}。
表面上看,似乎任何一个关于x的描述都有一个符合要求的空间。但是,罗素(和策梅洛一起)发现x={a:a不再a中}导致一个矛盾,就像对一群理发师的描述一样。x它本身是在x的集合中吗?否定的答案导致了矛盾的出现。
当罗素发现了悖论,弗雷格立即就发现悖论对他的理论有致命的打击。尽管这样,他还不能解决这个问题,并且上世纪有很多的尝试,去解决这个问题(但没有成功)。
罗素自己对这个悖论的回答促进了类型理论的.形成。他解释说,悖论的问题在于我们混淆了数集和数集的集合。所以,罗素介绍了对象的分级系统:数、数集、数集的集合等等。这个系统为形式化数学的形成奠定了基础,至今它还应用于哲学研究和计算机科学分支。 策梅洛对于罗素悖论的解决方法用新的公理:对于任意公式A(x)和任意集合b,都会有一个集合满足y={x:x既在b中又满足A(x)}取代了以前的公理:对于任意公式A(x),都会有一个集合满足y={x:x满足A(x)}。
究竟是什么样的努力使数学逻辑基础得以发展?现在数学家认识到这个领域可以用所谓的策梅洛-弗兰克尔集合论来定义。形式化的语言包含符号,例如e表示“其中一个数”,=表示等于,□代表集合中没有任何元素。那么可以写下一个公式B(x):如果如果y e x,而y是空集。在集的结构式中我们可以这样书写:y={x:x=□},或者更简单y={□}。罗素悖论就成这样:y={x:x不在x中},那么y是否在y中?
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