和与差的整除性奥数知识

我们知道，2、4、6、8、10、……都是能被2整除的整数.如果在这些数之间作和运算或差运算：

2+4=6，4+6=10，6+8=14，

2+6=8，4+8=12，6+10=16，

2+8=10，4+10=14，…………

2+10=12，…………

…………

2+4+6=12，

2+4+6+8=20，

2+4+6+8+10=30，

…………

4-2=2，6-4=2，8-6=2，

6-2=4，8-4=4，10-6=4，

8-2=6，10-4=6，…………

10-2=8，

…………

我们发现，它们之间的和或差也都能被2整除.因此，我们有理由猜想：能被2整除的数之间的和或差也能被2整除.

我们还知道，3、6、9、12、15、……都是能被3整除的数.如果在这些数之间作和运算或者差运算：

3+6=9，6+9=15，9+12=21，

3+9=12，6+12=18，9+15=24，

3+12=15，6+15=21，………

3+15=18，…………

………

3+6+9=18，

3+6+9+12=30，

3+6+9+12+18=48，

………

6-3=3，9-6=3，12-9=3，

9-3=6，12-6=6，15-9=6，

12-3=9，15-6=9，………

15-3=12，………

………

这些运算的结果也都能被3整除.因此，我们又有理由猜想：能被3整除的数之间的和或差也能被3整除.

有了前面的两点猜想，我们似乎可以作更大胆的.猜想：如果有一些数能被某个数整除，那么，这些数之间的和或差也一定能被某个数整除.

令人不放心的是，关于这个猜想，我们还仅只是考察了“某数”是2和3的部分情形.是不是对所有的情形都正确呢?解决这个问题的办法有两个：一是再接着逐个去验证考察。但这是一件永远也办不完的麻烦事情!另一个办法是用符号(这个发明用符号来表达数学关系的前辈确实是一个伟大的天才!)表示出“猜想”中的数学关系，然后，去想方设法说清它正确的道理.亲爱的读者，你能完成这项工作吗?

　　【规律】

如果有整数A、B、C、……都能被整数m整除，那么，就有A±B±C±……

的结果也能被m整除.

事实上，整数A、B、C、……都能被整数m整除，那么，这些整数就可以分别写成m的倍数形式：

A=a?m，B=b?m，C=c?m，……

(其中a、b、c仍为整数).这样

A±B±C±……

=a?m±b?m±c?m±……

=(a±b±c±……)?m.

显然，后面的结果是m的倍数，能被m整除.这就说明了原式

A±B±C±……

也能被m整除.猜想是正确的.

【练习】

运用上面的规律你能判断出下面哪些算式的得数能被2、3或5整除.

(1)123456789×1991+987654321;

(2)987654321×1992-123456789;

(3)2+4+6+……+1998+2000;

(4)5000-4998+4996-4994+……+4-2;

(5)1×2+3×4+5×6+……+99×100;

(6)1×2×3+4×5×6+7×8×9+……+97×98×99;

(7)1×2×3×4×5+6×7×8×9×10+11×12×13×14×15+……+96×97×98×99×100;

(8)19921+19922+19923+……+19922000.