蚂蚁爬桶的数学题目
蚂蚁爬桶
如下图,在圆柱形的桶外,有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物,已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米, B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米,而C、D两点之间的(桶口)弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线,应该怎么走?路程总长是多少?
解答:我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图(下图),由于B点在里面,不便于作图,设想将BD延长到F,使DF=BD,即以直线CD为对称轴,作出点B的`对称点F,用F代替B,即可找出最短路线了.
解:将圆柱面展成平面图形(上图),延长BD到F,使DF=BD,即作点B关于直线CD的对称点F,连结AF,交桶口沿线CD于O.
因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴,所以OB=OF,而A、F之间的最短线路是直线段AF,又AF=AO+OF,那么A、B之间的最短距离就是AO+OB,故蚂蚁应该在桶外爬到O点后,转向桶内B点爬去.
延长AC到E,使CE=DF,易知△AEF是直角三角形,AF是斜边,EF=CD,根据勾股定理, AF2=(AC+CE)2+EF2
=(12+8)2+152=625=252,解得AF=25.
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.
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