经典的小学奥数行程问题及详解
在行程问题中,当考虑两人或两个物体运动时,就有"相向"、"同向"、"背向"这三种情况。"相向而行"是指两者面对面地行进,其距离越来越近;"同向而行"是指两者的运动方向相同;"背向而行"是指两者背对背行进。如果两人或两个物体相向而行,到一定时间就会相遇;相遇后仍按原方向行进,就会变成背向而行。总之,相向而行与背向而行,其运动方向都是相反的,所以我们可作如下分类:
两人(物体)运动
如果运动路线不是直线,而是一个圆圈(比如我们在操场上进行环形赛跑),情况就要复杂一些。这时两人(或物体)如果面对面跑,那么也就是背对背跑,这两人(或物体)的距离会有"增加--减少--增加--减少--增加……"的现象;如果不是面对面跑,而是同向跑,那么速度快的,就会比速度慢的先多跑1圈,然后多跑2圈,3圈,……。这两人(或物体)的距离也会有"增加--减少--增加--减少--增加……"的现象。对于这些情况,只要到操场上试一试或在纸上画幅图分析一下,就可以明白。
在行程问题中还有一类顺逆航行的问题。如果航行的工具是轮船,那么常用的相等关系是:
顺水速度=静水速度+水流速度;
逆水速度=静水速度-水流速度。
如果航行的工具是飞机,那么常用的相等关系是:
顺风速度=无风时飞机速度+风速;
逆风速度=无风时飞机速度-风速。
【例1】一条环形跑道长400米。甲练习骑自行车,平均每分钟行驶550米;乙练习长跑,平均每分钟跑250米。两人同时、同地、同向出发,经过多少时间,两人首次相遇?
分析本题是行程问题的追及问题。它有两个相等关系:
甲的路程-乙的路程=环形跑道-圆的周长;
甲用的时间=乙用的时间。
解答设经过x分钟两人首次相遇。根据题意,得方程
550x-250x=400。
解这个方程,得x=1。
答:经过1分钟,甲、乙两人首次相遇。
说明在追及问题中常用的等量关系是:
(1)若甲、乙同地出发,甲先行,则乙追上甲时有:
甲所走的路程=乙所走的路程;
甲所用的时间=乙所用的时间+甲先行的.时间。
(2)若甲、乙同时不同地出发,甲在乙后面,则甲追上乙时有:
甲所走的路程=乙所走的路程+甲、乙出发时的距离;
甲所用的时间=乙所用的时间。
【例2】一架飞机飞行在两城市之间。风速为24千米/时,顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时。求两个城市之间的飞行路程。
分析一、(设直接未知数)设两个城市之间的飞行路程为x千米,则顺、逆风飞行的路程都是x千米,顺风飞行的速度为千米/时,逆风飞行的速度为千米/时。所以,应该在速度这个量上找相等关系:
∵顺风机速-风速=无风机速;
逆风机速+风速=无风机速,
∴顺风机速-风速=逆风机速+风速。即-24=+24。
二、(设间接未知数)设无风时的机速为x千米/时,则顺风机速为(x+24)千米/时,逆风机速为(x-24)千米/时。又因为时间是已知量,有x和已知量可表示顺、逆飞行的路程,它们应相等。
解法一设两个城市之间的飞行路程为x千米。根据题意,得
-24=+24。
解这个方程,得x=2448。
答:两个城市之间的飞行路程为2448千米。
解法二设无风时飞行的机速为x千米/时。根据题意,得
2(x+4)=3(x-4)。
解这个方程,得x=840。
3(x-4)=3(840-4)=2448。
答:两个城市之间的飞行路程为2448千米。
说明有关船只航行问题可仿此分析解决。
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