数学易混概念分析
“集合”和“数列”
集合是些确定的、不同的东西的总体。所谓“确定”,设A是一个给定的集合,x是某一具体的对象,则x或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。所谓“互异”,指同一集合中不应重复出现同一元素。凡提到集合中两个元素,一定是指两个不同的元素。
例如,“亲爱的妈妈”,“熟练的驾驶员”这类对象,一般不能构成数学意义上的集合,因为找不到能够判别每一具体对象是否属于集合的`明确标准。又如记号{2,2,3},由于其中出现了重复的元素,所以不能作为集合的正确表示,应把它写成{2,3}。如果它所表示的是方程(x-2)2(x-3)=0的解集,其中2是二重根,这种表示也是不妥的,应该把它写成{2(2),3},其中元素2的右下角括号内的2,表示2是方程的一个二重根,但在解集内只算一个元素。
数列是按照一定规律排列起来的一列数。如
1,2,3,4,…1,1,2,2,3,3,4,4,…
都是数列。
集合和数列的区别是:
第一,集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合,某农场全部拖拉机组成一个集合,所有的化学元素组成一个集合,等等。而数列的对象都是数,组成数列各项的元素只能是数,而不能是其他的对象。
第二,集合里的元素不能重复,而数列中的数是可以重复的。
如上面所讲的数列1,1,2,2,3,3,4,4,…是按照自然数列的规律,连续重复一次排列而成的,但是若把这个数列的各项看成是一个集合的元素,那么这个数列只能写成{1,2,3,4,…},而不能写成{1,1,2,2,3,3,4,4,…}。
第三,集合中的元素是不考虑顺序的,而数列中各数的顺序是十分重要的。例如,数列
1,2,3,4
与数列
4,3,2,1
是两个不同的数列。可是集合{1,2,3,4}与集合{4,3,2,1}则被认为是相同的。
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