2017八年级数学下册正方形的同步练习题
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一、选择题
1、下列命题中,真命题是( )
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C.圆的切线垂直于经过切点的半径
D.垂直于同一直线的两条直线互相垂直
2、如图,矩形ABCD中,AB>AD,AB=a,AN平分∠⊥AN于点M,CN⊥AN于点N,则DM+CN的值为(用含有a的代数式表示)( )
A.a B.45a C.22a D.32a
3、如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG>60°,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连结AH,则与∠BEG相等的角的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是( )
A.30 B.34 C.36 D.40
二、填空题
1、如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在C′处,折痕为EF,若∠ABE=20°,那么∠EFC′的度数为________度.
2、正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3,按如图放置,其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上,点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上,则点A3的坐标为______________.
3、 如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,第n个正方形的边长为__________.
三、解答题
1、如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.
2、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的`一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.
(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.
3、如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.
4、如图,在等边三角形ABC中,点D是BC边的中点,以AD为边作等边三角形ADE.
(1)求∠CAE的度数;
(2)取AB边的中点F,连结CF、CE,试证明四边形AFCE是矩形.
5、如图所示,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连结AE、CF.
(1)求证:AF=CE;
(2)若AC=EF,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论.
6、如图,四边形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°.
(1)求证:AC∥DE;
(2)过点B作BF⊥AC于点F,连结EF,试判断四边形BCEF的形状,并说明理由.
一、选择题
1、C
【解析】
注意真命题是正确的命题.A错在对角线还应互相平分,B错在等腰梯形不是中心对称图形,D错在结论应是互相平行.
2、C
【解析】 设AN与DC交于点P,可证DM=PM,CN=PN.设DM=x,则CN=PN=22a-x,∴DM+CN=22a.
3、B
【解析】
与∠BEG相等的角有∠HEG、∠EAH、∠EHA共3个.
4.B
【解析】由题意可知△AEH,△BFE,△CGF,△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形,所以这四个直角三角形的面积为:4× ×5×3=30cm2,而正方形ABCD的面积为64cm2,所以四边形EFGH的面积是34cm2,选B.
二、填空题
1、125.
【解析】
∵在矩形ABCD中,∠ABE=20°,∴∠AEB=70°.∵点D与点B重合,∴∠BEF=∠DEF=180°-70°2=55°,∵AD∥BC,∴∠BFE=∠DEF=55°.∴∠EFC=180°-55°=125°.∵点C的对应点是C′,∴∠EFC′=125°.
2、的坐标是(2n-1, 2n-1)
【解析】A1的坐标是(0,1),A2的坐标是:(1,2),
根据题意得: b=1,k+b=2,
解得: b=1,k=1.
则直线的解析式是:y=x+1.
∵A1B1=1,点B2的坐标为(3,2),
∴A1的纵坐标是1,A2的纵坐标是2.
在直线y=x+1中,令x=3,则纵坐标是:3+1=4=22;
则A4的横坐标是:1+2+4=7,则A4的纵坐标是:7+1=8=23;
据此可以得到An的纵坐标是:2n-1,横坐标是:2n-1-1.
由图知,An的纵坐标与Bn的纵坐标相等,
B3的横坐标为1+2+4=7
∴Bn的横坐标为2n-1
则Bn的坐标是(2n-1, 2n-1)
3、
【解析】∵a2=AC,且在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2, ∴ 。
同理
∴ 。
三、解答题
1、(1)证明:∵点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴平行四边形AEBD是矩形;
(2)当∠BAC=90°时,
理由:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,
∴AD=BD=CD,
∵由(1)得四边形AEBD是矩形,
∴矩形AEBD是正方形.
2、(1)连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,
∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,
∵∠BDP+∠ADP=90°,
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形.
(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:
由(1)知△ABD为等腰直角三角形,
当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形,
又∵DP=AP= AB,∴四边形APDQ为正方形.
3、解:(1)四边形OCED是菱形.
∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形,
又在矩形ABCD中,OC=OD,∴四边形OCED是菱形.
(2)连结OE.由菱形OCED得CD⊥OE,
∴OE∥BC,又CE∥BD,
∴四边形BCEO是平行四边形.
∴OE=BC=8,
∴S四边形OCED=12OECD=12×8×6=24.
4、解:(1)在等边三角形ABC中,
∵点D是BC边的中点,∴∠DAC=30°.
又∵△ADE为等边三角形,∴∠DAE=60°.
∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=30°.
(2)由(1)知,∠EAF=90°,
由F为AB的中点知,∠CFA=90°,∴CF∥EA.
在等边三角形ABC中,CF=AD.
在等边三角形ADE中,AD=EA.
∴CF=EA.
∴四边形AFCE为平行四边形.
又∵∠CFA=90°,∴四边形AFCE为矩形.
5、证明:(1)在△ADF和△CDE中,∵AF∥BE,∴∠FAD=∠ECD.又∵D是AC的中点,∴AD=CD.∵∠ADF=∠CDE,∴△ADF≌△CDE,∴AF=CE.
(2)若AC=EF,则四边形AFCE是平行四边形.由(1)知AF∥CE,AF=CE,∴四边形的AFCE是平行四边形,又∵AC=EF,∴四边形AFCE是矩形.
6、解:(1)在矩形ABCD中,AC∥DE,∴∠DCA=∠CAB.∵∠EDC=∠CAB,∴∠DCA=∠EDC,∴AC∥DE.
(2)四边形BCEF是平行四边形.
理由:由∠DEC=90°,BF⊥AC,可得∠AFB=∠DEC=90°,
又∠EDC=∠CAB,AB=CD,
∴△DEC≌△AFB,∴DE=AF,由(1)得AC∥DE,
∴四边形AFED是平行四边形,∴AD∥EF且AD=EF,
∵在矩形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,
∴EF∥BC且EF=BC,
∴四边形BCEF是平行四边形.
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