如何用逆向思维解答数学问题
一、数学概念的反问题
例1 若化简|1-x|—|x-4|的结果为2x-5,求x的取值范围。
分析:原式=|1-x|-|x-4|
根据题意,要化成:x-1-(4-x)=2x-5
从绝对值概念的反方向考虑,推出其条件是:
1-x≤0,且x-4≤0
∴x的取值范围是:1≤x≤4
二、代数运算的逆过程
例2 有四个有理数:3,4-6,10,将这四个数进行加减乘除四则运算(每个数用且只用一次),使结果为24.请写出一个符合要求的算式。
分析:不妨先设想3×8=24,再考虑怎样从4,-6,10算出8,这样就找到一个所求的算式:
3×(4-6 10)=24
类似的,还有:4-(-6×10)÷3;
10-(-6×3 4);3(10-4)-(-6)等。
例3 若关于x的不等式(a-1)x>a2-2的解集为x<2,求a的值。
分析:根据不等式性质3,从反方向进行分析,得:
a-1<0,且a2-2=2(a-1)
∴所求a值为a=0.
四、逆向分析分式方程的检验
例4 已知方程m(x 1)/(1-x2)=1有增根,求它的增根。
分析:这个分式方程的增根可能是x=1或x=-1
原方程去分母并整理,得x2 mx m-1=0
如果把x=1代入,能求出m=3;
如果把x=-1代入,则不能求出m;
∴m的值为3,原方程的'增根是x=1.
五、图形变换的反问题
例5 △ABC中,AB<AC,一刀剪切后可以拼成等腰梯形,请确定剪切线。
分析:我们曾经把梯形剪切后拼成三角形,就是使梯形的一部分绕一条腰的中点旋转180°,本题正好相反。由此得到启发,再应用等腰梯形的性质,得到如下做法:
作AD⊥BC,垂足为D点,在BC上截取DE=BD,连结AE,则∠AEB=∠B.
过AC中点M作MP∥AE,交BC于P,MD就是所求的剪切线。剪下△MPC,可以拼成等腰梯形ABPQ.
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