2015年北京高考理数试题(文字版)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、 选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.
1. 已知集合A={x∈R|3x+2>0﹜·B={x∈ R|(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( )
A.(﹣∞,﹣1) B.{﹣1,-⅔} C. ﹙﹣⅔,3﹚ D.(3,+∝)
2. 设不等式组 表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B. C. D.
3.设a,b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A. 2
B .4
C.8
D. 16
5.如图. ∠ACB=90º。CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )
A. CE·CB=AD·DB
B. CE·CB=AD·AB
C. AD·AB=CD ²
·EB=CD ²
6.从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7.某三梭锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( )
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+ 12
D. 60+12
8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高。m值为( )
A.5
B.7
C.9
D.11
第二部分(非选择题共110分)
二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.
9.直线 (t为参数)与曲线 (“为多α数)的交点个数为
10.已知﹛ ﹜等差数列 为其前n项和.若 = , = ,则 =
11.在△ABC中,若α=2,b+c=7, =- ,则b=
12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线 =4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为
13.己知正方形ABCD的边长为l,点E是AB边上的动点.则 . 的值为
14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)= -2,若同时满足条件:
① x∈R,f(x) <0或g(x) <0
② x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) <0
则m的取值范围是
三、解答题公6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.(本小题共13分)
已知函数 。
(1) 求f(x)的定义域及最小正周期;
(2) 求f(x)的单调递增区间。
16. (本小题共14分)
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的.位置,使A1C⊥CD,如图2.
(1) 求证:A1C⊥平面BCDE;
(2) 若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
(3) 线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?
说明理由
17.(本小题共13分)
近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨);
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2) 试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a﹥0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值。
(求: ,其中 为数据x1,x2,…,xn的平均数)
18.(本小题共13分)
已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx
(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;
(2) 当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值,
19.(本小题共14分)
已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1) 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;
(2) 设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线。
20.(本小题共13分)
设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n):
记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
(1) 对如下数表A,求K(A)的值;
1
1
-0.8
0.1
-0.3
-1
(2)设数表A∈S(2,3)形如
1
1
c
a
b
-1
求K(A)的最大值;
(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值。
该文章转载自无忧考网:
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、 选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.
1. 已知集合A={x∈R|3x+2>0﹜·B={x∈ R|(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( )
A.(﹣∞,﹣1) B.{﹣1,-⅔} C. ﹙﹣⅔,3﹚ D.(3,+∝)
2. 设不等式组 表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B. C. D.
3.设a,b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A. 2
B .4
C.8
D. 16
5.如图. ∠ACB=90º。CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )
A. CE·CB=AD·DB
B. CE·CB=AD·AB
C. AD·AB=CD ²
·EB=CD ²
6.从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7.某三梭锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( )
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+ 12
D. 60+12
8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高。m值为( )
A.5
B.7
C.9
D.11
第二部分(非选择题共110分)
二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.
9.直线 (t为参数)与曲线 (“为多α数)的交点个数为
10.已知﹛ ﹜等差数列 为其前n项和.若 = , = ,则 =
11.在△ABC中,若α=2,b+c=7, =- ,则b=
12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线 =4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为
13.己知正方形ABCD的边长为l,点E是AB边上的动点.则 . 的值为
14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)= -2,若同时满足条件:
① x∈R,f(x) <0或g(x) <0
② x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) <0
则m的取值范围是
三、解答题公6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.(本小题共13分)
已知函数 。
(1) 求f(x)的定义域及最小正周期;
(2) 求f(x)的单调递增区间。
16. (本小题共14分)
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的.位置,使A1C⊥CD,如图2.
(1) 求证:A1C⊥平面BCDE;
(2) 若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
(3) 线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?
说明理由
17.(本小题共13分)
近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨);
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2) 试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a﹥0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值。
(求: ,其中 为数据x1,x2,…,xn的平均数)
18.(本小题共13分)
已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx
(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;
(2) 当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值,
19.(本小题共14分)
已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1) 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;
(2) 设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线。
20.(本小题共13分)
设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n):
记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
(1) 对如下数表A,求K(A)的值;
1
1
-0.8
0.1
-0.3
-1
(2)设数表A∈S(2,3)形如
1
1
c
a
b
-1
求K(A)的最大值;
(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值。
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